Récurrence : 9 exercices corrigés – Terminale spécialité

Introduction :

Cette fiche propose 9 exercices sur le raisonnement par récurrence, la méthode de démonstration au cœur du début d’année de Terminale spécialité.

On y démontre des inégalités (dont l’inégalité de Bernoulli (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na), des propriétés de suites définies par récurrence (minoration, monotonie, suite définie par une fonction), une formule explicite pour une suite récurrente d’ordre 2 et un résultat de divisibilité (2³ⁿ − 1 est un multiple de 7).

Notre conseil : rédigez soigneusement les trois étapes, initialisation, hérédité et conclusion : c’est ce qui est évalué en devoir comme au bac.

Retrouvez le cours et toutes les ressources du chapitre sur la page Suites et raisonnement par récurrence.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode.

Rappel : rédiger une récurrence

On note $\mathcal P(n)$ la propriété. Initialisation : on vérifie $\mathcal P(n_0)$ . Hérédité : on suppose $\mathcal P(n)$ vraie pour un entier $n\geqslant n_0$ fixé et on démontre $\mathcal P(n+1)$ . Conclusion : d’après le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$ .

Exercice 1 · Somme de factorielles ★★★

Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 2$ : $1!+2!+3!+\dots+(n-1)!\leqslant n!$ .

Corrigé

Initialisation : pour $n=2$ , $1!=1\leqslant 2!=2$ .

Hérédité : si $1!+\dots+(n-1)!\leqslant n!$ , alors $1!+\dots+n!\leqslant n!+n!=2\times n!\leqslant(n+1)\times n!=(n+1)!$ car $n+1\geqslant 2$ .

⇝ Pour tout $n\geqslant 2$ : $1!+2!+\dots+(n-1)!\leqslant n!$ .

Exercice 2 · Suite minorée et décroissante ★★★

Soit la suite $u$ définie par $u_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ . Démontrer que la suite $u$ est minorée par 1 et est décroissante.

Corrigé

Montrons par récurrence $\mathcal P(n)$ : « $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ ». Initialisation : $u_1=3$ et $1\leqslant 3\leqslant 8$ .

Hérédité : la fonction $x\mapsto\sqrt{x+1}$ est croissante sur $[-1\,;+\infty[$ ; de $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ on déduit $\sqrt2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$ , donc $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$ .

⇝ Pour tout $n$ , $u_n\geqslant 1$ (avec $u_0=8$ ) et $u_{n+1}\leqslant u_n$ : $u$ est minorée par 1 et décroissante.

Exercice 3 · Suite homographique ★★★

Soit la suite $u$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{u_n+1}$ .

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $]-1\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-2}{x+1}$ .
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ , $u_n>2$ .
La suite $u$ est-elle monotone ?

Corrigé

1. Variations de f

$f'(x)=\dfrac{4(x+1)-(4x-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{6}{(x+1)^2}>0$ . En $-1^+$ : le numérateur tend vers $-6$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc $f\to-\infty$ ; en $+\infty$ , $f\to 4$ .

$x$	$-1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f$	$-\infty$	$\nearrow$	$4$

2. u_n > 2

⇝ $u_0=3>2$ ; si $u_n>2$ , comme $f$ est strictement croissante, $u_{n+1}=f(u_n)>f(2)=\frac63=2$ . Donc $u_n>2$ pour tout $n$ .

3. Monotonie

⇝ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-2-u_n^2-u_n}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n+1}<0$ car $u_n>2$ : la suite est strictement décroissante.

Exercice 4 · Récurrence double ★★★

On considère la suite $u$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et, pour tout entier $n\geqslant 1$ , $u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}$ . Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $u_n=\dfrac{3^n-1}{2}$ .

Corrigé

On démontre la propriété $\mathcal P(n)$ : « $u_n=\frac{3^n-1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$ » (deux rangs consécutifs, car la relation fait intervenir deux termes).

Initialisation : $u_0=0=\frac{1-1}{2}$ et $u_1=1=\frac{3-1}{2}$ . Hérédité : $u_{n+2}=4\times\frac{3^{n+1}-1}{2}-3\times\frac{3^n-1}{2}=\frac{4\times 3^{n+1}-3^{n+1}-1}{2}=\frac{3^{n+2}-1}{2}$ .

⇝ Pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_n=\dfrac{3^n-1}{2}$ .

Exercice 5 · Divisibilité par 7 ★★★

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $2^{3n}-1$ est un multiple de 7.

Corrigé

Initialisation : $2^0-1=0=7\times 0$ . Hérédité : si $2^{3n}-1=7k$ , alors $2^{3n+3}-1=8\times 2^{3n}-1=8(2^{3n}-1)+7=7(8k+1)$ .

⇝ Pour tout $n$ , $2^{3n}-1$ est un multiple de 7.

Exercice 6 · Encadrement ★★★

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0\in\,]0\,;1[$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$ . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0<u_n<1$ .

Corrigé

Remarquons que $u_{n+1}=1-(1-u_n)^2$ . Initialisation : vraie par hypothèse. Hérédité : si $0<u_n<1$ , alors $0<1-u_n<1$ , donc $0<(1-u_n)^2<1$ et $0<1-(1-u_n)^2<1$ .

⇝ Pour tout $n$ : $0<u_n<1$ .

Exercice 7 · Inégalité de Bernoulli ★★★

Démontrer que pour tout réel $a>-1$ et tout entier naturel $n$ : $(1+a)^n\geqslant 1+na$ .

Corrigé

Initialisation : $(1+a)^0=1\geqslant 1$ . Hérédité : si $(1+a)^n\geqslant 1+na$ , comme $1+a>0$ : $(1+a)^{n+1}\geqslant(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geqslant 1+(n+1)a$ .

Piège à éviter

Multiplier une inégalité par $1+a$ ne conserve le sens que parce que $1+a>0$ : c’est là qu’intervient l’hypothèse $a>-1$ .

⇝ Pour tout $a>-1$ et tout $n\in\mathbb N$ : $(1+a)^n\geqslant 1+na$ .

Exercice 8 · Majoration de (1+1/n)ⁿ ★★★

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 3$ : $\left(1+\dfrac1n\right)^n<n$ .

Corrigé

Initialisation : $\left(\frac43\right)^3=\frac{64}{27}\approx 2{,}37<3$ .

Hérédité : $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\leqslant\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\left(1+\frac1n\right)^n\left(1+\frac1n\right)<n\left(1+\frac1n\right)=n+1$ .

⇝ Pour tout $n\geqslant 3$ : $\left(1+\frac1n\right)^n<n$ .

Exercice 9 · Une propriété héréditaire mais fausse ★★★

Pour tout entier naturel $n$ , soit la propriété $P(n)$ : $1+2+3+\dots+n=\dfrac12\left(n+\dfrac12\right)^2$ .

Vérifier que cette propriété est héréditaire.
Cette propriété est-elle vraie pour tout entier $n$ ?
Existe-t-il des valeurs de $n$ pour lesquelles cette propriété est vraie ?

Corrigé

1. Hérédité

⇝ Si $1+\dots+n=\frac12\left(n+\frac12\right)^2$ , alors $1+\dots+n+(n+1)=\frac12\left(n^2+n+\frac14\right)+n+1=\frac12\left(n^2+3n+\frac94\right)=\frac12\left(n+\frac32\right)^2$ : la propriété est héréditaire.

2. et 3.

⇝ On sait que $1+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac12\left(n^2+n\right)$ , alors que $\frac12\left(n+\frac12\right)^2=\frac12\left(n^2+n+\frac14\right)$ : la différence vaut toujours $\frac18$ . La propriété n’est vraie pour aucun entier $n$ .

Piège à éviter

L’hérédité seule ne prouve rien : sans initialisation, une récurrence n’est pas démontrée.

Exercice 10 · Somme alternée ★★★

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb N^*$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\,k=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$ .

Corrigé

Initialisation : pour $n=1$ , $-1=\frac{-3-1}{4}$ .

Hérédité : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}\left[-(2n+1)+4n+4\right]-1}{4}=\frac{(-1)^{n+1}(2n+3)-1}{4}$ .

⇝ La formule est vraie pour tout $n\geqslant 1$ .

Exercice 11 · Factorisation de aⁿ − bⁿ ★★★

Soit $a$ , $b$ deux nombres réels. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$ : $a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ .

Corrigé

Initialisation : pour $n=1$ , $a-b=(a-b)\times a^0b^0$ .

Hérédité : $a^{n+1}-b^{n+1}=a\left(a^n-b^n\right)+b^n(a-b)=(a-b)\left[\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^k+b^n\right]=(a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k$ .

⇝ Pour tout $n\geqslant 1$ : $a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ .

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Exercices — raisonnement par récurrence (énoncés)

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