Bac blanc n°1 Terminale spécialité : sujet 1 (PDF)

Introduction :

Ce bac blanc n°1 reproduit les conditions de l’épreuve de spécialité mathématiques : 4 heures, calculatrice en mode examen.

Le sujet couvre les grands thèmes du programme : suites, géométrie dans l’espace, questions de vrai-faux à justifier et étude de fonctions.

Notre conseil : lisez tout le sujet avant de commencer et traitez d’abord l’exercice où vous êtes le plus à l’aise.

Retrouvez toutes les ressources de Terminale spécialité sur la page Annales de Bac.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode.

Avant de commencer

Bac blanc n°1 de Terminale spécialité (sujet de janvier, durée 4 heures, calculatrice autorisée). Les exercices 1 à 3 sont communs à tous les candidats ; le candidat traite ensuite un seul des deux exercices au choix A ou B.

Exercice 1 · Suites : évolution d’une population (10 points) ★★★

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique. Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0{,}6$ et $u_{n+1}=0{,}75\,u_n\left(1-0{,}15\,u_n\right)$ , où $u_n$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année $2020+n$ .
1) Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;1]$ par $f(x)=0{,}75\,x\left(1-0{,}15\,x\right)$ .
2) Montrer que $f$ est croissante sur $[0\,;1]$ et dresser son tableau de variations.
3) Résoudre dans $[0\,;1]$ l’équation $f(x)=x$ . On remarquera que pour tout $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .
4) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 1$ . b) En déduire que $(u_n)$ est convergente. c) Déterminer la limite $\ell$ de $(u_n)$ .
5) Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction. a) Justifier que, selon ce modèle, il a raison. b) Il a programmé en Python la fonction menace() ci-dessous. Donner la valeur renvoyée et l’interpréter.

def menace():
    u = 0.6
    n = 0
    while u > 0.02:
        u = 0.75*u*(1-0.15*u)
        n = n+1
    return n

Corrigé

⇝ 1) $u_1=0{,}75\times 0{,}6\times 0{,}91=0{,}4095$ : environ 410 individus en 2021. $u_2=0{,}75\times 0{,}4095\times(1-0{,}15\times 0{,}4095)\approx 0{,}2883$ : environ 288 individus en 2022.

⇝ 2) $f(x)=0{,}75x-0{,}1125x^2$ , donc $f'(x)=0{,}75-0{,}225x\geqslant 0{,}525>0$ sur $[0\,;1]$ : $f$ est croissante de $f(0)=0$ à $f(1)=0{,}6375$ .

⇝ 3) $f(x)=x\iff x\left(-0{,}25-0{,}1125x\right)=0\iff x=0$ ou $x=-\frac{20}{9}$ . Dans $[0\,;1]$ , la seule solution est $x=0$ .

⇝ 4) a) Initialisation : $u_1=0{,}4095$ et $0\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 1$ . Hérédité : si $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 1$ , comme $f$ est croissante sur $[0\,;1]$ , $f(0)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(1)$ , soit $0\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 0{,}6375\leqslant 1$ . b) $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0 : elle converge. c) $f$ est continue, donc $\ell=f(\ell)$ avec $\ell\in[0\,;1]$ : $\ell=0$ .

⇝ 5) a) Comme $\lim u_n=0<0{,}02$ , il existe un rang à partir duquel $u_n\leqslant 0{,}02$ : la population passera sous les 20 individus. b) La fonction renvoie $11$ ( $u_{10}\approx 0{,}0249$ et $u_{11}\approx 0{,}0186$ ) : l’espèce sera menacée d’extinction à partir de 2031.

Exercice 2 · Géométrie dans l’espace (5 points) ★★★

$ABCDEFGH$ est un cube. Soit le point $K$ défini par $\overrightarrow{HK}=\frac54\overrightarrow{HF}$ et $M$ un point du segment $[BF]$ .

Cube ABCDEFGH avec le point K sur la demi-droite [HF) et M sur le segment [BF]

1) Les points $D$ , $M$ , $K$ et $H$ sont-ils coplanaires ? Justifier.
2) Montrer qu’il existe un unique $t\in[0\,;1]$ tel que $\overrightarrow{BM}=t\,\overrightarrow{BF}$ .
3) Sans utiliser les coordonnées, montrer que si $t=\frac45$ alors les points $D$ , $M$ et $K$ sont alignés.
4) On se place dans le repère $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ . a) Écrire les coordonnées de $M$ en fonction de $t$ . b) Démontrer à l’aide des coordonnées que $D$ , $M$ et $K$ sont alignés si et seulement si $t=\frac45$ .

Corrigé

⇝ 1) Oui : $K$ est sur la droite $(HF)$ et $M$ sur $[BF]$ ; ces deux droites sont dans le plan $(BDHF)$ , qui contient aussi $D$ et $H$ .

⇝ 2) $M\in[BF]$ : les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont colinéaires et de même sens, avec $BM\leqslant BF$ ; $t=\frac{BM}{BF}$ est unique et appartient à $[0\,;1]$ .

⇝ 3) Avec $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{DB}$ : $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DB}+\frac45\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DH}+\frac54\overrightarrow{DB}=\frac54\left(\overrightarrow{DB}+\frac45\overrightarrow{DH}\right)=\frac54\overrightarrow{DM}$ : $D$ , $M$ , $K$ sont alignés.

⇝ 4) a) $B(1\,;0\,;0)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , donc $M(1\,;0\,;t)$ . b) $D(0\,;1\,;0)$ , $H(0\,;1\,;1)$ , $\overrightarrow{HF}(1\,;-1\,;0)$ , d’où $K\left(\frac54\,;-\frac14\,;1\right)$ . $\overrightarrow{DK}\left(\frac54\,;-\frac54\,;1\right)$ et $\overrightarrow{DM}(1\,;-1\,;t)$ . Colinéaires $\iff\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{DK}$ : la 1^re coordonnée donne $k=\frac45$ , la 2^e est alors vérifiée et la 3^e impose $t=\frac45$ .

Exercice 3 · Croissances comparées et vrai-faux (5 points) ★★★

1) On suppose connu le résultat $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm e^x}{x}=+\infty$ . Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty$ .
2) Vrai-faux : indiquer si chaque proposition est vraie ou fausse et la démontrer (contre-exemple si elle est fausse ; une proposition non démontrée ne rapporte aucun point).
a) Les suites $u$ et $v$ définies sur $\mathbb N$ par $u_n=\sqrt n$ et $v_n=\frac{n}{n+1}$ ont le même sens de variation.
b) On considère trois suites définies sur $\mathbb N$ vérifiant $u_n=\sqrt n$ , $v_n=n$ et $u_n\leqslant w_n\leqslant v_n$ . (i) $u$ et $w$ ont le même sens de variation. (ii) $u$ minore $v$ . (iii) $w$ converge. (iv) On ne peut savoir si $w-u$ converge.

Corrigé

⇝ 1) Avec $X=\frac xn\to+\infty$ : $\frac{\mathrm e^x}{x^n}=\left(\frac{\mathrm e^{x/n}}{x}\right)^n=\frac{1}{n^n}\left(\frac{\mathrm e^X}{X}\right)^n\to+\infty$ .

⇝ 2) a) VRAI : $u$ est croissante et $v_n=1-\frac1{n+1}$ aussi.

⇝ b) (i) FAUX : $w_n=n$ si $n$ est pair et $w_n=\sqrt n$ si $n$ est impair vérifie l’encadrement, mais $w_2=2>w_3=\sqrt3$ : $w$ n’est pas croissante. (ii) VRAI : $\sqrt n\leqslant n$ pour tout $n\in\mathbb N$ . (iii) FAUX : $w_n\geqslant\sqrt n\to+\infty$ , donc $w$ diverge vers $+\infty$ . (iv) VRAI : si $w=u$ , $w-u=0$ converge ; si $w=v$ , $w-u=n-\sqrt n\to+\infty$ .

Exercice 4 · Exercice au choix A : exponentielle, limites, dérivation (10 points) ★★★

1) Étude du signe d’une fonction $g$ . Soit $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\mathrm e^x+x+1$ . a) Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$ . b) Calculer $g'(x)$ et donner le tableau de variations de $g$ . c) On admet que $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb R$ , avec $\alpha\in\,]-2\,;-1[$ . Justifier que pour $x\leqslant\alpha$ , $g(x)\leqslant 0$ et pour $x\geqslant\alpha$ , $g(x)\geqslant 0$ .
2) Variations d’une fonction $f$ . Soit $f(x)=\dfrac{x\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1}$ et $\mathcal C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé. a) Calculer la limite de $f$ en $-\infty$ et l’interpréter géométriquement. b) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ . c) Étudier la position de $\mathcal C_f$ et de la droite $(\mathcal D) : y=x$ . d) Montrer que $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x g(x)}{\left(\mathrm e^x+1\right)^2}$ . e) i) Donner le tableau de variations de $f$ . ii) Montrer que $f(\alpha)=\alpha+1$ . iii) En déduire que si $x\in[\alpha\,;0]$ alors $f(x)\in[\alpha\,;0]$ .

Corrigé

⇝ 1) a) $\lim\limits_{+\infty}g=+\infty$ ; en $-\infty$ , $\mathrm e^x\to 0$ et $x+1\to-\infty$ , donc $\lim\limits_{-\infty}g=-\infty$ . b) $g'(x)=\mathrm e^x+1>0$ : $g$ est strictement croissante. c) $g$ est croissante et $g(\alpha)=0$ .

⇝ 2) a) $x\mathrm e^x\to 0$ et $\mathrm e^x+1\to 1$ : $\lim\limits_{-\infty}f=0$ , la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ . b) $f(x)=\frac{x}{1+\mathrm e^{-x}}\to+\infty$ . c) $f(x)-x=\frac{-x}{\mathrm e^x+1}$ : $\mathcal C_f$ est au-dessus de $(\mathcal D)$ pour $x<0$ , en dessous pour $x>0$ , et elles se coupent en $O$ .

⇝ d) $f'(x)=\frac{(1+x)\mathrm e^x(\mathrm e^x+1)-x\mathrm e^x\,\mathrm e^x}{(\mathrm e^x+1)^2}=\frac{\mathrm e^x\left(\mathrm e^x+x+1\right)}{(\mathrm e^x+1)^2}=\frac{\mathrm e^x g(x)}{(\mathrm e^x+1)^2}$ .

⇝ e) i) $f'$ a le signe de $g$ : $f$ décroissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ , croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ . ii) $g(\alpha)=0$ donne $\mathrm e^\alpha=-\alpha-1$ et $\mathrm e^\alpha+1=-\alpha$ , donc $f(\alpha)=\frac{\alpha(-\alpha-1)}{-\alpha}=\alpha+1$ . iii) Sur $[\alpha\,;0]$ , $f$ est croissante : $\alpha<\alpha+1=f(\alpha)\leqslant f(x)\leqslant f(0)=0$ .

Exercice 5 · Exercice au choix B : exponentielle, convexité, tangente (10 points) ★★★

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{x-1}+1$ , de courbe $\mathcal C_f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\vec\imath,\vec\jmath\right)$ .
1) a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement. b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ . c) Calculer $f'$ . d) Dresser le tableau de variations de $f$ . e) En déduire que pour tout réel $x$ , $f(x)>0$ .
2) a) Calculer $f''$ . b) Étudier la convexité de $f$ . c) Déterminer les éventuels points d’inflexion de $\mathcal C_f$ .
3) Soit $a>0$ . On cherche s’il existe une tangente à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse $a$ qui passe par l’origine $O$ . a) Donner une équation de la tangente $T_a$ . b) Démontrer que $T_a$ passe par $O$ si et seulement si $1-a^2\mathrm e^{a-1}=0$ . c) À la calculatrice, déterminer les racines de $1-x^2\mathrm e^{x-1}=0$ sur $\mathbb R$ . d) Montrer que la tangente recherchée a pour équation $y=2x$ .

Corrigé

⇝ 1) a) $x\mathrm e^{x-1}=\mathrm e^{-1}x\mathrm e^x\to 0$ : $\lim\limits_{-\infty}f=1$ , la droite $y=1$ est asymptote en $-\infty$ . b) $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ . c) $f'(x)=(1+x)\mathrm e^{x-1}$ . d) $f$ décroissante sur $]-\infty\,;-1]$ , croissante sur $[-1\,;+\infty[$ , minimum $f(-1)=1-\mathrm e^{-2}$ . e) Ce minimum est strictement positif, donc $f(x)>0$ .

⇝ 2) a) $f''(x)=(2+x)\mathrm e^{x-1}$ . b) $f$ concave sur $]-\infty\,;-2]$ , convexe sur $[-2\,;+\infty[$ . c) $f''$ s’annule en changeant de signe en $-2$ : point d’inflexion $\left(-2\,;1-2\mathrm e^{-3}\right)$ .

⇝ 3) a) $T_a : y=(1+a)\mathrm e^{a-1}(x-a)+a\mathrm e^{a-1}+1$ . b) $O\in T_a\iff 0=-a(1+a)\mathrm e^{a-1}+a\mathrm e^{a-1}+1\iff 1-a^2\mathrm e^{a-1}=0$ .

⇝ c) La seule racine est $x=1$ (pour $x\leqslant 0$ , $x^2\mathrm e^{x-1}\leqslant 4\mathrm e^{-3}<1$ ; sur $]0\,;+\infty[$ , $x^2\mathrm e^{x-1}$ est strictement croissante). d) Donc $a=1$ : $T_1 : y=2(x-1)+2=2x$ .