Suites numériques : 12 exercices – Première spécialité

Introduction :

Cette fiche propose 12 exercices sur les suites numériques en Première spécialité, conformes au programme officiel (BO n°14 du 2 avril 2026) et classés par difficulté croissante.

On y travaille les modes de génération d’une suite, les suites arithmétiques et géométriques, les sommes de termes consécutifs, le sens de variation, une première approche de la limite (avec Python) et des modélisations : allumettes, abonnements, tour de Hanoï, population de poissons.

Fiche proposée par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Avant de commencer

Difficulté : ★ application directe · ★★ entraînement · ★★★ approfondissement.

Cherchez chaque exercice sur une feuille, en rédigeant soigneusement. Le corrigé détaillé sera ajouté prochainement.

Exercice 1 · Modes de génération ★★★

1. Soit $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=n^2-2n$ . Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_5$ , puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ .

2. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=-1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $v_{n+1}=v_n^2+1$ . Calculer $v_1$ , $v_2$ et $v_3$ .

3. Soit $(w_n)$ définie par $w_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $w_{n+1}=w_n+2n+1$ . Calculer $w_1$ , $w_2$ , $w_3$ , $w_4$ . Conjecturer une formule explicite de $w_n$ .

Exercice 2 · Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ★★★

Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout $n\in\mathbb{N}$ , dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l’un ni l’autre. Le cas échéant, préciser son premier terme et sa raison.

a) $u_n=3-4n$

b) $v_n=5\times 2^{n+1}$

c) $w_n=n^2+1$

d) $t_n=\dfrac{7}{3^n}$

Exercice 3 · Suite arithmétique ★★★

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3=7$ et $u_{10}=28$ .

1. Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{50}$ . Donner le sens de variation de $(u_n)$ .

Exercice 4 · Suite géométrique ★★★

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ telle que $u_2=12$ et $u_4=48$ .

1. Déterminer la raison $q$ et le premier terme $u_0$ .

2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , calculer $u_{10}$ et donner le sens de variation de $(u_n)$ .

Exercice 5 · Sommes de termes consécutifs ★★★

Calculer les sommes suivantes en précisant à chaque fois le nombre de termes.

$S_1=2+5+8+\dots+302$

$S_2=1+3+9+\dots+3^8$

$S_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2^{10}}$

Exercice 6 · Sens de variation ★★★

Étudier le sens de variation de chacune des suites suivantes.

a) $u_n=n^2+3n-1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ (étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ ).

b) $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n-n^2-1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

c) $w_n=\dfrac{n}{2^n}$ pour tout $n\geqslant 1$ (comparer $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ à $1$ ).

d) $t_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ (utiliser une fonction $f$ telle que $t_n=f(n)$ ).

Exercice 7 · Motif géométrique ★★★

On construit une rangée de carrés avec des allumettes, comme ci-dessous. On note $u_n$ le nombre d’allumettes nécessaires pour une rangée de $n$ carrés ( $n\geqslant 1$ ).

1. Donner $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .

2. En déduire la nature de $(u_n)$ et une formule explicite de $u_n$ .

3. Combien de carrés peut-on construire avec 301 allumettes ?

Exercice 8 · Deux modèles d’évolution ★★★

Un club de sport propose un abonnement annuel à 25 € la première année (année 0). Deux formules sont possibles :

Formule A : le prix augmente de 2 % chaque année ; on note $a_n$ le prix de l’année $n$ .
Formule B : le prix augmente de 0,60 € chaque année ; on note $b_n$ le prix de l’année $n$ .

1. Préciser la nature des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ , puis exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ .

2. Calculer $a_{10}$ et $b_{10}$ (arrondis au centime).

3. Calculer le coût total de chaque formule sur les années 0 à 9. Quelle formule est la plus avantageuse sur ces dix années ?

4. À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année $n$ le prix de la formule A dépasse celui de la formule B.

Exercice 9 · Approche de la notion de limite ★★★

1. Soit $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}$ .

a) Calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_{10}$ et $u_{100}$ . Conjecturer la limite éventuelle de $(u_n)$ .

b) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n-2=\dfrac{1}{n+1}$ . En déduire le sens de variation de $(u_n)$ .

c) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n-2<0{,}001$ .

2. On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=0{,}9^n$ . Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu’elle renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_n<0{,}01$ , puis donner la valeur renvoyée.

def seuil():
    n = 0
    v = 1
    while ........ :
        n = ........
        v = ........
    return n

Exercice 10 · D’une suite arithmétique à une suite géométrique ★★★

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=1$ et de raison $2$ . Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=3^{u_n}$ .

1. Calculer $v_0$ , $v_1$ et $v_2$ .

2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

3. Calculer $u_0+u_1+\dots+u_n$ en fonction de $n$ . En déduire le produit $P_n=v_0\times v_1\times\dots\times v_n$ sous la forme $3^k$ .

Exercice 11 · La tour de Hanoï ★★★

On dispose de $n$ disques de tailles différentes empilés sur une tige, du plus grand (en bas) au plus petit. Il faut déplacer toute la pile sur une autre tige, en déplaçant un seul disque à la fois et sans jamais poser un disque sur un disque plus petit (une troisième tige sert d’intermédiaire). On admet que le nombre minimal de déplacements $h_n$ vérifie $h_1=1$ et, pour tout $n\geqslant 1$ , $h_{n+1}=2h_n+1$ .

1. Calculer $h_2$ , $h_3$ , $h_4$ et $h_5$ .

2. On pose $k_n=h_n+1$ . Montrer que $(k_n)$ est géométrique, puis en déduire $h_n$ en fonction de $n$ .

3. La légende parle de 64 disques, déplacés à raison d’un disque par seconde. Estimer la durée nécessaire en années.

Exercice 12 · Modélisation d’une population ★★★

Un étang contient $5\,000$ poissons au 1^er janvier 2026. Chaque année, 10 % des poissons disparaissent et on introduit $300$ nouveaux poissons. On note $p_n$ le nombre de poissons au 1^er janvier de l’année $2026+n$ , de sorte que $p_0=5\,000$ .

1. Calculer $p_1$ et $p_2$ . Justifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $p_{n+1}=0{,}9\,p_n+300$ .

2. On pose $q_n=p_n-3\,000$ . Montrer que $(q_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

3. En déduire que $p_n=3\,000+2\,000\times 0{,}9^n$ , puis le sens de variation de $(p_n)$ .

4. Conjecturer la limite de $(p_n)$ et interpréter ce résultat.

5. Écrire une fonction Python qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $p_n<3\,500$ . En quelle année la population passera-t-elle sous les $3\,500$ poissons ?

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