Fonctions cosinus et sinus – 12 exercices de Terminale spécialité

Introduction :

Cette fiche propose 12 exercices sur les fonctions cosinus et sinus en Terminale spécialité, classés par difficulté croissante.

On y travaille les dérivées, les équations et inéquations trigonométriques, les limites (dont celles qui font apparaître un nombre dérivé), les études de fonctions et la convexité, puis des exercices de synthèse qui mêlent trigonométrie, suites et raisonnement par récurrence.

Fiche proposée par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Avant de commencer

Difficulté : ★ application directe · ★★ entraînement · ★★★ approfondissement · ★★★★ défi.

Cherchez chaque exercice sur une feuille, en rédigeant comme au bac. Le corrigé détaillé sera ajouté prochainement.

Exercice 1 · Dérivées ★★★★

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur \mathbb{R}.

a) f(x)=x\cos(x)

b) g(x)=\cos^2(x)

c) h(x)=\dfrac{\sin(x)}{2+\cos(x)}

d) k(x)=\mathrm{e}^{\sin(x)}

e) m(x)=\sin(5x-\pi)

Exercice 2 · Équations et inéquations ★★★★

a) Résoudre dans ]-\pi\,;\pi] l’équation 2\sin(x)+\sqrt{3}=0.

b) Résoudre dans [0\,;2\pi[ l’équation \cos(2x)=\cos(x).

c) Résoudre dans ]-\pi\,;\pi] l’inéquation 2\cos(x)-\sqrt{2}>0.

Exercice 3 · Limites ★★★★

Déterminer les limites suivantes (pour c) et d), on reconnaîtra un nombre dérivé).

a) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(x+\cos(x)\big)

b) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3+2\sin(x)}{x^2}

c) \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{x}

d) \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}

e) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)

Exercice 4 · Équations du second degré en cos et sin ★★★★

a) Résoudre dans ]-\pi\,;\pi] l’inéquation 2\cos^2(x)+\cos(x)-1\leqslant 0 (on pourra poser X=\cos(x)).

b) Résoudre dans [0\,;2\pi[ l’équation 2\sin^2(x)-3\sin(x)+1=0.

Exercice 5 · Étude d’une fonction paire et périodique ★★★★

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\cos^2(x)-\cos(x).

1. Montrer que f est 2\pi-périodique et paire. Justifier qu’il suffit de l’étudier sur [0\,;\pi].

2. Montrer que, pour tout réel x, f'(x)=\sin(x)\big(1-2\cos(x)\big).

3. Dresser le tableau de variations de f sur [0\,;\pi]. En déduire que, pour tout réel x, f(x)\geqslant-\dfrac{1}{4}.

Exercice 6 · L’équation cos(x) = x ★★★★

Soit g la fonction définie sur \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right] par g(x)=\cos(x)-x.

1. Étudier les variations de g sur \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right].

2. Montrer que l’équation \cos(x)=x admet une unique solution \alpha dans \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right], puis donner un encadrement de \alpha d’amplitude 10^{-2}.

3. En déduire le signe de g(x) sur \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right].

Exercice 7 · Encadrements de sin et cos ★★★★

1. Étudier les variations de la fonction f:x\mapsto x-\sin(x) sur [0\,;+\infty[. En déduire que, pour tout x\geqslant 0, \sin(x)\leqslant x.

2. À l’aide de la fonction g:x\mapsto\cos(x)-1+\dfrac{x^2}{2}, montrer que, pour tout x\geqslant 0, \cos(x)\geqslant 1-\dfrac{x^2}{2}.

3. En procédant de même, montrer que, pour tout x\geqslant 0, x-\dfrac{x^3}{6}\leqslant\sin(x)\leqslant x.

Exercice 8 · Convexité et point d’inflexion ★★★★

Soit f la fonction définie sur [0\,;2\pi] par f(x)=x+\sin(x), et \mathcal{C}_f sa courbe représentative.

1. Étudier les variations de f sur [0\,;2\pi].

2. Étudier la convexité de f et montrer que \mathcal{C}_f admet un point d’inflexion A, dont on donnera les coordonnées et l’équation de la tangente en A.

3. Déterminer l’équation de la tangente T à \mathcal{C}_f au point d’abscisse 0. En utilisant la convexité, retrouver que \sin(x)\leqslant x pour tout x\in[0\,;\pi].

Exercice 9 · Dérivées successives et récurrence ★★★★

On note f=\sin et, pour tout n\in\mathbb{N}, f^{(n)} sa dérivée n-ième (avec f^{(0)}=f, f^{(1)}=f', f^{(2)}=(f')', …).

1. Calculer f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x) et f^{(4)}(x) pour tout réel x.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N} et tout réel x : f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x) et f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x).

3. En déduire une expression simple de f^{(2026)}(x), puis la valeur de f^{(2027)}(0).

Exercice 10 · Une suite définie par le sinus ★★★★

On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\sin(u_n). On admet que \sin(x)<x pour tout x>0.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N}, 0<u_n\leqslant 1. (On rappelle que 1<\frac{\pi}{2}.)

2. Montrer que la suite (u_n) est strictement décroissante. En déduire qu’elle converge vers un réel \ell\in[0\,;1].

3. Justifier que \sin(\ell)=\ell, puis déterminer \ell.

Exercice 11 · L’inégalité de Jordan ★★★★

Soit f la fonction définie sur ]0\,;\pi] par f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}.

1. Déterminer \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x).

2. Soit \varphi la fonction définie sur [0\,;\pi] par \varphi(x)=x\cos(x)-\sin(x). Étudier les variations de \varphi, puis en déduire que \varphi(x)<0 pour tout x\in\,]0\,;\pi].

3. Calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f sur ]0\,;\pi].

4. En déduire l’inégalité de Jordan : pour tout x\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right], \dfrac{2}{\pi}x\leqslant\sin(x)\leqslant x.

Exercice 12 · Oscillations amorties ★★★★

Soit f la fonction définie sur [0\,;+\infty[ par f(x)=\mathrm{e}^{-x}\sin(x).

1. Montrer que, pour tout x\geqslant 0, -\mathrm{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant\mathrm{e}^{-x}. En déduire \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x).

2. Montrer que, pour tout x\geqslant 0, f'(x)=\mathrm{e}^{-x}\big(\cos(x)-\sin(x)\big).

3. À l’aide du cercle trigonométrique, résoudre dans [0\,;2\pi[ l’équation \cos(x)=\sin(x), puis justifier que ses solutions dans [0\,;+\infty[ sont les réels x_n=\frac{\pi}{4}+n\pi, n\in\mathbb{N}.

4. Justifier, à l’aide du cercle trigonométrique, que \sin(x_n)=(-1)^n\dfrac{\sqrt{2}}{2} pour tout n\in\mathbb{N}.

5. On pose y_n=f(x_n). Montrer que (y_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme, puis déterminer sa limite.

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Fonctions cosinus et sinus — Fiche d’exercices — Terminale (énoncés)

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