Somme des termes d'une suite en Python

Introduction

Ce troisième chapitre est consacré au calcul de sommes et de produits de termes, une question très fréquente au bac. La méthode repose sur la variable accumulateur : on initialise S à 0 (ou P à 1), puis on ajoute (ou on multiplie) le terme courant à chaque tour de boucle.

Quatre packs illustrent la méthode : la somme des termes d’une suite récurrente (avec contrôle par la formule d’une somme géométrique), une somme explicite qui permet d’approcher π, un produit et une somme de factorielles pour approcher le nombre e, et une suite définie par une somme.

Les programmes sont donnés en algorithme, en Python et sur TI-82, avec les erreurs classiques à éviter (ordre des lignes, nombre de tours de boucle) et sept exercices d’entraînement.

Chapitre précédent : chapitre 2 – calculer les termes d’une suite · chapitre suivant : chapitre 4 – rechercher un seuil. Retrouvez tous les chapitres dans la rubrique Algorithmique et Python.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Méthode : la variable « accumulateur »

Pour calculer $S=a_1+a_2+\dots+a_n$ , on utilise une variable $S$ que l’on initialise à $0$ , puis, à chaque tour de boucle, on lui ajoute le terme courant : $S\leftarrow S+a_k$ . Pour un produit $P=a_1\times a_2\times\dots\times a_n$ , on initialise $P$ à $1$ et on fait $P\leftarrow P\times a_k$ .

1. Sommes de termes

Pack 1 – somme des termes d’une suite récurrente

On calcule $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$ avec $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ .

Algorithme

Saisir n
u ← 3 ; S ← 0
Pour k allant de 0 à n
S ← S + u
u ← 2u
Fin Pour
Afficher S

Python

def somme(n):
    u = 3
    S = 0
    for k in range(n+1):
        S = S + u
        u = 2*u
    return S

TI-82

:Prompt N
:3→U
:0→S
:Pour(K,0,N)
:S+U→S
:2U→U
:Fin
:Disp S

Ordre des lignes : on ajoute d’abord le terme courant $u_k$ à $S$ , puis on passe au terme suivant. La boucle fait $n+1$ tours car la somme contient $n+1$ termes ( $u_0$ à $u_n$ ).

Tableau d’exécution :

k	0	1	2	3	4	5
u (avant)	3	6	12	24	48	96
S (après)	3	9	21	45	93	189

Essai : somme(5) renvoie $189$ . Contrôle par la formule : $S_5=3\times\dfrac{2^6-1}{2-1}=3\times 63=189$ . ✓

Pack 2 – somme d’une suite explicite et approximation de $\pi$

On calcule $S_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dots+\dfrac{1}{n^2}$ .

Algorithme

Saisir n
S ← 0
Pour k allant de 1 à n
S ← S + 1/k²
Fin Pour
Afficher S

Python

def carres(n):
    s = 0
    for k in range(1, n+1):
        s = s + 1/k**2
    return s

TI-82

:Prompt N
:0→S
:Pour(K,1,N)
:S+1/K^2→S
:Fin
:Disp S

En une ligne : sum([1/k**2 for k in range(1, n+1)]) (liste en compréhension).

Résultats : $S_{10}\approx 1{,}549\,8$ et $S_{1000}\approx 1{,}643\,9$ . On admet que $S_n$ tend vers $\dfrac{\pi^2}{6}\approx 1{,}644\,9$ : ainsi $\sqrt{6\,S_{1000}}\approx 3{,}140\,6$ est une valeur approchée de $\pi$ .

Astuce TI sans programme

somme(suite(1/K^2,K,1,10)) (somme( et suite( se trouvent dans le menu 2nde stats LISTES, onglets MATH et OPS).

2. Produits

Pack 3 – un produit et le nombre $\mathrm{e}$

On utilise $\mathrm{e}\approx 1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dots+\dfrac{1}{n!}$ où $k!=1\times 2\times\dots\times k$ .

Algorithme

Saisir n
S ← 1 (le terme 1/0!)
f ← 1 (contiendra k!)
Pour k allant de 1 à n
f ← f × k
S ← S + 1/f
Fin Pour
Afficher S

Python

def approx_e(n):
    S = 1
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f*k
        S = S + 1/f
    return S

TI-82

:Prompt N
:1→S
:1→F
:Pour(K,1,N)
:F*K→F
:S+1/F→S
:Fin
:Disp S

On ne recalcule pas $k!$ à chaque tour : on passe de $(k-1)!$ à $k!$ en multipliant par $k$ (accumulateur produit, initialisé à $1$ ).

Résultats : approx_e(5) $\approx 2{,}716\,67$ ; approx_e(10) $\approx 2{,}718\,281\,8$ ; à comparer à $\mathrm{e}\approx 2{,}718\,281\,83$ (touche 2nde ln).

3. Une suite définie par une somme

Pack 4 – le terme ajouté dépend de k et de n

On considère $S_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}$ .

Algorithme

Saisir n
S ← 0
Pour k allant de 1 à n
S ← S + 1/(n + k)
Fin Pour
Afficher S

Python

def S(n):
    s = 0
    for k in range(1, n+1):
        s = s + 1/(n+k)
    return s

[S(n) for n in range(1, 6)]

TI-82

:Prompt N
:0→S
:Pour(K,1,N)
:S+1/(N+K)→S
:Fin
:Disp S

Attention

Ici le terme ajouté dépend à la fois de $k$ (le compteur) et de $n$ (fixé pendant toute la boucle). Quand $n$ change, toute la somme change : on ne peut pas passer de $S_n$ à $S_{n+1}$ en ajoutant un seul terme.

Résultats : la liste vaut environ [0.5, 0.5833, 0.6167, 0.6345, 0.6456] ; $S_{10}\approx 0{,}668\,8$ , $S_{100}\approx 0{,}690\,7$ , $S_{1000}\approx 0{,}692\,9$ . La suite semble croissante et converger vers $\ln 2\approx 0{,}693\,1$ .

Les erreurs classiques

Oublier d’initialiser S à 0 (ou P à 1), ou l’initialiser dans la boucle : la somme repart de zéro à chaque tour.
Se tromper sur le nombre de termes : de $u_0$ à $u_n$ , il y en a $n+1$ (range(n+1), TI : Pour(K,0,N)).
Inverser les deux lignes de la boucle : on additionne alors $u_1+\dots+u_{n+1}$ .

4. À vous de jouer

Exercice 1 · À vous de jouer ★★★

Algorithme + Python + TI-82.

Calculer $1+2+\dots+100$ avec une boucle, puis en une ligne avec sum et range.
Calculer $T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$ pour $n=10$ . Conjecturer une formule.
Calculer le produit $P_n=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ pour $n=10$ . Conjecturer, puis démontrer.
Calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}$ et comparer avec $\dfrac{10}{11}$ .
Pour $u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ (chapitre 2), calculer $u_0+u_1+\dots+u_4$ .
Calculer le produit des 5 premiers entiers impairs $1\times 3\times 5\times 7\times 9$ à l’aide d’une boucle.
Écrire une fonction Python somme_liste(L) qui renvoie la somme des éléments d’une liste L sans utiliser sum, à l’aide de for x in L:. Sur la TI, que fait somme(L1) ?