Algorithme de seuil en Python – Terminale spécialité (ch. 4)

Introduction

L’algorithme de seuil est la question d’algorithmique la plus fréquente au bac. Ce quatrième chapitre explique comment trouver le plus petit entier n tel que u_n dépasse (ou passe sous) une valeur A, à l’aide d’une boucle Tant que et d’un compteur.

Le chapitre insiste sur les deux points qui font perdre des points : écrire la condition contraire de ce que l’on cherche, et justifier que la boucle s’arrête grâce à la limite de la suite. Trois packs : un placement qui tend vers +∞, une suite décroissante qui passe sous un seuil et la comparaison de deux suites (d’après Bac Centres étrangers 2025).

Chaque programme est écrit en algorithme, en Python et sur TI-82, suivi des quatre erreurs classiques et de cinq exercices en contexte (médicament, voiture, abonnés…).

Chapitre précédent : chapitre 3 – sommes et produits de termes · chapitre suivant : chapitre 5 – approcher une limite ou une constante. Retrouvez tous les chapitres dans la rubrique Algorithmique et Python.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Méthode

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>A$ (ou $u_n<A$ , ou $u_n\geqslant A$ …). On ne sait pas combien de tours faire : on utilise une boucle Tant que et un compteur $n$ .

La condition de la boucle est le contraire de ce que l’on cherche : pour obtenir $u_n>A$ , on répète tant que $u\leqslant A$ .
À chaque tour : on calcule le terme suivant et on augmente le compteur de $1$ . À la sortie, on affiche (ou on renvoie) $n$ .
Pourquoi la boucle s’arrête-t-elle ? C’est l’argument attendu au bac : si $\lim u_n=+\infty$ , alors $u_n$ finit par dépasser n’importe quel réel $A$ ; si $\lim u_n=\ell<A$ … la boucle « $u_n>A$ » ne s’arrêterait jamais !

1. Trois situations types

Pack 1 – suite qui tend vers +∞ : un placement

Léna place $1\,000$ € au 1^er janvier 2026. Chaque année, le capital augmente de 3 %, puis elle ajoute $100$ €. On note $c_n$ le capital au 1^er janvier 2026 + $n$ : $c_0=1\,000$ et $c_{n+1}=1{,}03\,c_n+100$ . On admet que $(c_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$ . En quelle année le capital dépassera-t-il $A=2\,000$ € ?

Algorithme

Saisir A
n ← 0 ; c ← 1000
Tant que c ⩽ A
c ← 1,03 c + 100
n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Python

def seuil(A):
    n = 0
    c = 1000
    while c <= A:
        c = 1.03*c + 100
        n = n + 1
    return n

TI-82

:Prompt A
:0→N
:1000→C
:TantQue C⩽A
:1.03C+100→C
:N+1→N
:Fin
:Disp N

n	0	1	2	…	7	8
$c_n$	1000	1130	1263,9	…	1996,12	2156,0
$c_n\leqslant 2000$ ?	oui	oui	oui	…	oui	non

seuil(2000) renvoie $8$ . Interprétation : $n=8$ correspond à l’année 2026 + 8 : le capital dépasse $2\,000$ € en 2034.

Pack 2 – suite décroissante : passer sous un seuil

Une population compte $3\,000$ individus ; chaque année, elle perd 8 % de ses membres puis $100$ individus arrivent : $p_0=3\,000$ et $p_{n+1}=0{,}92\,p_n+100$ . On admet que $(p_n)$ est décroissante et converge vers $1\,250$ . Au bout de combien d’années la population passera-t-elle sous $1\,300$ ?

Algorithme

n ← 0 ; p ← 3000
Tant que p ⩾ 1300
p ← 0,92 p + 100
n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Python

def annees():
    n = 0
    p = 3000
    while p >= 1300:
        p = 0.92*p + 100
        n = n + 1
    return n

TI-82

:0→N
:3000→P
:TantQue P⩾1300
:0.92P+100→P
:N+1→N
:Fin
:Disp N

Résultat : $43$ ( $p_{42}\approx 1\,302{,}7$ et $p_{43}\approx 1\,298{,}5$ ). Pourquoi la boucle s’arrête : $\lim p_n=1\,250<1\,300$ , donc $p_n$ finit par passer sous $1\,300$ . Avec un seuil de $1\,200$ , la boucle ne s’arrêterait jamais, puisque $p_n\geqslant 1\,250$ pour tout $n$ !

Pack 3 – comparer deux suites

D’après Bac Centres étrangers, 13 juin 2025, sujet 2, exercice 1.

Deux populations (en milliers) : $u_0=6$ , $u_{n+1}=0{,}93\,u_n$ (milieu A) et $v_0=6$ , $v_{n+1}=-0{,}05\,v_n^2+1{,}1\,v_n$ (milieu B), au 1^er janvier 2025 + $n$ . On sait que $\lim u_n=0$ et que $v_n\geqslant 2$ pour tout $n$ . En quelle année la population B dépasse-t-elle la population A ?

Algorithme

n ← 0 ; u ← 6 ; v ← 6
Tant que v ⩽ u
    u ← 0,93 u
    v ← −0,05 v² + 1,1 v
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher 2025 + n

Python

def annee():
    n = 0
    u, v = 6, 6
    while v <= u:
        u = 0.93*u
        v = -0.05*v**2 + 1.1*v
        n = n + 1
    return 2025 + n

TI-82

:0→N
:6→U
:6→V
:TantQue V⩽U
:0.93U→U
:-0.05V^2+1.1V→V
:N+1→N
:Fin
:Disp 2025+N

Ici les deux mises à jour sont indépendantes ( $u$ ne dépend que de $u$ , $v$ que de $v$ ) : l’ordre des deux lignes n’a pas d’importance.

Résultat : 2038 ( $u_{12}\approx 2{,}512>v_{12}\approx 2{,}406$ mais $u_{13}\approx 2{,}336<v_{13}\approx 2{,}358$ ). Pourquoi la boucle s’arrête : $\lim u_n=0$ , donc à partir d’un certain rang $u_n<2\leqslant v_n$ .

2. Sur la TI-82 sans programme : le seuil à la table

On entre la suite en mode Suite (chapitre 2) : u(n)=1.03u(n-1)+100, u(nMin)=1000, puis on fait défiler la table (2nde graphe) : $u(7)\approx 1\,996{,}1$ et $u(8)\approx 2\,156{,}0$ .

Rédaction attendue au bac

« À l’aide de la calculatrice, $c_7\approx 1\,996{,}1\leqslant 2\,000$ et $c_8\approx 2\,156{,}0>2\,000$ . Comme la suite est croissante, le rang cherché est $n=8$ , soit l’année 2034. »

Les quatre erreurs classiques

Mauvaise condition : on écrit la condition pour continuer, pas celle pour s’arrêter : pour obtenir $u_n>A$ , c’est while u <= A.
Oublier n = n + 1 : le programme renvoie 0, ou tourne sans fin.
Confondre $n$ et l’année (ou le mois) : toujours interpréter le résultat dans le contexte.
Ne pas justifier l’arrêt de la boucle : il faut citer la limite de la suite.

3. À vous de jouer

Exercice 1 · À vous de jouer ★★★

Algorithme + Python + TI-82.

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ . Déterminer le plus petit $n$ tel que $u_n>100$ . Justifier que la boucle s’arrête.
Soit $H_n=1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}$ . On admet que $\lim H_n=+\infty$ . Écrire un programme renvoyant le plus petit $n$ tel que $H_n>A$ et le tester avec $A=5$ . (Attention à l’ordre des lignes !)
Un médicament : la quantité dans le sang vérifie $q_0=20$ et $q_{n+1}=0{,}7\,q_n$ (en mg, $n$ en heures). Au bout de combien d’heures la quantité devient-elle inférieure à 1 mg ?
Une voiture achetée $10\,000$ € perd 15 % de sa valeur chaque année. Au bout de combien d’années vaudra-t-elle moins de la moitié de son prix ? Répondre avec un programme, puis avec la table de la TI.
Un site compte $200$ abonnés ; chaque mois il en perd 5 % et en gagne $50$ : $a_0=200$ , $a_{n+1}=0{,}95\,a_n+50$ . On admet que $(a_n)$ est croissante de limite $1\,000$ . Déterminer le premier mois où le site dépasse $900$ abonnés. Pourquoi un programme cherchant le premier mois où $a_n\geqslant 1\,000$ ne s’arrêterait-il jamais ?

Corrigé

1. La suite géométrique de raison $1{,}5>1$ tend vers $+\infty$ , donc la boucle s’arrête.

⇝ $n=12$

2. H = 0, n = 0, while H <= A: puis n = n + 1 avant H = H + 1/n ; seuil(5) renvoie 83.

3. $q_8\approx 1{,}15$ et $q_9\approx 0{,}81$ ; la boucle s’arrête car $\lim q_n=0<1$ .

⇝ 9 heures

4. $v_4\approx 5\,220$ € et $v_5\approx 4\,437$ €.

⇝ 5 ans

5. $a_{40}\approx 897{,}2$ , $a_{41}\approx 902{,}3$ , donc $n=41$ . On a $a_n<1\,000$ pour tout $n$ (la suite est croissante de limite $1\,000$ ), donc la condition $a_n\geqslant 1\,000$ n’est jamais réalisée.

⇝ 41^e mois

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Pour réviser sur papier, téléchargez le chapitre complet au format PDF (avec les réponses des exercices).

ch4_seuils

Algorithmique Terminale – Chapitre 4 : rechercher un seuil (Python et TI-82)

Introduction

1. Trois situations types

Pack 1 – suite qui tend vers +∞ : un placement

Pack 2 – suite décroissante : passer sous un seuil

Pack 3 – comparer deux suites

2. Sur la TI-82 sans programme : le seuil à la table

3. À vous de jouer

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Pour aller plus loin

Fiche d’entraînement DS Terminale : suites, limites, continuité et convexité (avec corrigé)

Algorithmique Terminale – Chapitre 1 : variables, boucles et conditions (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 2 : calculer les termes d’une suite (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 5 : approcher une limite ou une constante (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 6 : la méthode de dichotomie (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 7 : lire, compléter, corriger un programme (type bac)

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