Approcher une limite en Python – Terminale spécialité (ch. 5)

Introduction

Dans ce cinquième chapitre, on utilise les algorithmes pour approcher la limite d’une suite ou une constante célèbre. Le principe : faire une recherche de seuil sur l’écart |u_n − ℓ|, en répétant tant que cet écart est supérieur à la précision 10^−p.

Quatre packs : une suite dont la limite est connue, la méthode de Héron (ou de Babylone) pour approcher √2, une limite inconnue encadrée par deux suites, et la comparaison de deux vitesses de convergence vers le nombre e.

Chaque fois, l’algorithme, le programme Python et sa version TI-82 sont donnés, avec le raisonnement qui justifie l’arrêt de la boucle et des exercices pour prolonger (Héron pour √3, approximation de e).

Chapitre précédent : chapitre 4 – rechercher un seuil · chapitre suivant : chapitre 6 – la méthode de dichotomie. Retrouvez tous les chapitres dans la rubrique Algorithmique et Python.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Méthode

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ , on dit que $u_n$ est une valeur approchée de $\ell$ à $\varepsilon$ près lorsque $|u_n-\ell|<\varepsilon$ . Pour trouver le premier rang où c’est le cas, on fait une recherche de seuil (chapitre 4) sur l’écart : on répète tant que l’écart est $\geqslant\varepsilon$ . On prend en général $\varepsilon=10^{-p}$ (« $p$ décimales »).

Pourquoi la boucle s’arrête : comme $\lim u_n=\ell$ , l’écart $|u_n-\ell|$ finit par être plus petit que tout nombre $\varepsilon>0$ .

1. Limite connue, limite inconnue

Pack 1 – limite connue

$u_0=2$ , $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ ; on a montré que $u_n=6-4\times 0{,}5^n$ , donc $(u_n)$ croît vers $6$ .

Algorithme

Saisir p
n ← 0 ; u ← 2
Tant que 6 − u ⩾ 10^−p
u ← 0,5 u + 3
n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Python

def rang(p):
    n = 0
    u = 2
    while 6 - u >= 10**(-p):
        u = 0.5*u + 3
        n = n + 1
    return n

TI-82

:Prompt P
:0→N
:2→U
:TantQue 6-U⩾10^(-P)
:0.5U+3→U
:N+1→N
:Fin
:Disp N

p	1	2	3	6
`rang(p)`	6	9	12	22

Contrôle pour $p=1$ : $6-u_6=4\times 0{,}5^6=0{,}0625<0{,}1$ , mais $6-u_5=0{,}125\geqslant 0{,}1$ . Ici la suite est croissante, donc $|u_n-6|=6-u_n$ : pas besoin de valeur absolue.

Pack 2 – la racine carrée de 2 par la méthode de Héron (ou de Babylone)

On pose $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$ . On admet que pour tout $n$ : $\dfrac{2}{u_n}\leqslant\sqrt{2}\leqslant u_n$ et que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$ . Ainsi $\sqrt{2}$ est encadré par $\dfrac{2}{u_n}$ et $u_n$ : dès que l’amplitude $u_n-\dfrac{2}{u_n}$ est inférieure à $\varepsilon$ , on a une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $\varepsilon$ près, sans connaître $\sqrt{2}$ !

Algorithme

Saisir ε
u ← 2
Tant que u − 2/u ⩾ ε
u ← (u + 2/u)/2
Fin Tant que
Afficher 2/u et u

Python

def heron(eps):
    u = 2
    while u - 2/u >= eps:
        u = (u + 2/u) / 2
    return 2/u, u

TI-82

:Prompt E
:2→U
:TantQue U-2/U⩾E
:(U+2/U)/2→U
:Fin
:Disp 2/U,U

n	$2/u_n$	$u_n$
0	1	2
1	1,333 333	1,5
2	1,411 764 7	1,416 666 7
3	1,414 211 4	1,414 215 7
4	1,414 213 562 37	1,414 213 562 37

heron(10**-6) s’arrête après 4 tours seulement et renvoie 1,414 213 56… Le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque étape : c’est une méthode extrêmement rapide (comparer avec la dichotomie, chapitre 6).

Pack 3 – limite inconnue : deux suites qui l’encadrent

On reprend les suites du chapitre 2 (pack 4) : $u_0=1$ , $v_0=12$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{3}$ , $v_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}$ . On admet que $u_n\leqslant\ell\leqslant v_n$ pour tout $n$ , où $\ell$ est la limite commune. On s’arrête dès que l’amplitude $v_n-u_n$ est inférieure à $10^{-p}$ .

Algorithme

Saisir p
u ← 1 ; v ← 12 ; n ← 0
Tant que v − u ⩾ 10^−p
    w ← u
    u ← (u + 2v)/3
    v ← (w + 3v)/4
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n, u, v

Python

def encadre(p):
    u, v, n = 1, 12, 0
    while v - u >= 10**(-p):
        u, v = ((u + 2*v)/3,
                (u + 3*v)/4)
        n = n + 1
    return n, u, v

TI-82

:Prompt P
:1→U
:12→V
:0→N
:TantQue V-U⩾10^(-P)
:U→W
:(U+2V)/3→U
:(W+3V)/4→V
:N+1→N
:Fin
:Disp N,U,V

Résultats : pour $p=3$ , le programme renvoie $n=4$ et $8{,}999\,6\leqslant\ell\leqslant 9{,}000\,2$ ; pour $p=6$ , $n=7$ . On conjecture $\ell=9$ (ce que l’on démontre en étudiant la suite $3u_n+8v_n$ , constante égale à $99$ ).

2. Vitesse de convergence

Pack 4 – comparer deux vitesses de convergence vers $\mathrm{e}$

On considère $w_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ (on admet que $w_n<\mathrm{e}$ et $\lim w_n=\mathrm{e}$ ).

Algorithme

Saisir ε
n ← 1
Tant que e − (1 + 1/n)ⁿ ⩾ ε
n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Python

from math import e

def rang_e(eps):
    n = 1
    while e-(1+1/n)**n >= eps:
        n = n + 1
    return n

TI-82

:Prompt E
:1→N
:TantQue e-(1+1/N)^N⩾E
:N+1→N
:Fin
:Disp N
(E est une variable ;
 la constante e : 2nde ÷)

Ici la suite est explicite : on ne garde pas de terme en mémoire, on recalcule $w_n$ à chaque tour.

Résultats : rang_e(0.01) renvoie 135 et rang_e(0.001) renvoie 1 359 : pour gagner une décimale, il faut environ 10 fois plus de termes. Avec la somme $\sum\dfrac{1}{k!}$ du chapitre 3, $n=9$ suffit déjà pour $10^{-6}$ : toutes les suites ne convergent pas à la même vitesse.

3. À vous de jouer

Exercice 1 · À vous de jouer ★★★

Algorithme + Python + TI-82.

Adapter la méthode de Héron pour $\sqrt{3}$ : $u_0=2$ , $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{3}{u_n}\right)$ . Combien d’étapes pour $\varepsilon=10^{-6}$ ?
Avec la fonction approx_e(n) du chapitre 3, écrire un programme qui renvoie le plus petit $n$ tel que $\mathrm{e}-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}<10^{-6}$ (en Python, from math import e ; sur la TI, e est obtenu par 2nde ln puis 1).
Dans le pack 1, déterminer par le calcul le plus petit $n$ tel que $4\times 0{,}5^n<10^{-20}$ (à la calculatrice), puis comparer avec la valeur renvoyée par rang(20) en Python. Expliquer.

Corrigé

1. $1{,}732\,050\,805\leqslant\sqrt{3}\leqslant 1{,}732\,050\,810$ .

⇝ 3 étapes

⇝ $n=9$

3. Le calcul exact donne $n=69$ , mais Python renvoie $53$ : au rang $53$ , l’écart $4\times 0{,}5^{53}\approx 4{,}4\times 10^{-16}$ est trop petit pour la machine (environ 16 chiffres significatifs), $u_{53}$ est arrondi à exactement $6$ et l’écart calculé vaut $0$ . On ne demande jamais une précision supérieure à celle de la machine.

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Pour réviser sur papier, téléchargez le chapitre complet au format PDF (avec les réponses des exercices).

ch5_limites

Algorithmique Terminale – Chapitre 5 : approcher une limite ou une constante (Python et TI-82)

Introduction

1. Limite connue, limite inconnue

Pack 1 – limite connue

Pack 2 – la racine carrée de 2 par la méthode de Héron (ou de Babylone)

Pack 3 – limite inconnue : deux suites qui l’encadrent

2. Vitesse de convergence

Pack 4 – comparer deux vitesses de convergence vers $\mathrm{e}$

3. À vous de jouer

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Pour aller plus loin

Algorithmique Terminale – Chapitre 6 : la méthode de dichotomie (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 1 : variables, boucles et conditions (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 4 : rechercher un seuil (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 3 : sommes et produits de termes (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 2 : calculer les termes d’une suite (Python et TI-82)

Algorithmique Terminale – Chapitre 7 : lire, compléter, corriger un programme (type bac)

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