Dérivation et convexité — Cours de Terminale spécialité

Introduction :

La convexité permet de décrire la forme d’une courbe : savoir si elle est tournée vers le haut ou vers le bas, et comment elle se place par rapport à ses tangentes. C’est un outil central de l’étude des fonctions en Terminale, présent dans la plupart des sujets du baccalauréat.

Dans ce chapitre 5 de Terminale spécialité mathématiques, nous étudions d’abord les fonctions composées et la formule de dérivation d’une composée (v∘u)′ = (v′∘u) × u′, accompagnée du tableau des dérivées usuelles. Nous définissons ensuite la convexité et la concavité à l’aide des sécantes, ainsi que les inégalités de convexité.

Le cours fait ensuite le lien entre convexité, dérivée seconde et position de la courbe par rapport à ses tangentes, puis caractérise les points d’inflexion. Les résultats importants sont démontrés et illustrés par des exemples, et le cours se termine par 8 exercices d’application de difficulté progressive.

Objectif : savoir dériver une fonction composée, étudier la convexité d’une fonction et déterminer ses points d’inflexion, pour aborder sereinement les exercices d’analyse du baccalauréat.

Pour vous entraîner, retrouvez la fiche d’exercices n°5 sur la dérivation et la convexité.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Le cours en version texte

Voici l’essentiel du cours, lisible directement en ligne. Le PDF, à télécharger en bas de page, reste la version de référence, avec les figures et les exercices d’application.

1. Composée d’une fonction u par une fonction v

Définition — Fonction composée

Soit u une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J (pour tout x\in I, u(x)\in J) et v une fonction définie sur J. On note v\circ u (« v rond u ») la fonction définie sur I par v\circ u : x\longmapsto v\big(u(x)\big).

Exemple

Avec u : x\mapsto 2x-3 et v : x\mapsto\sqrt{x}, la fonction v\circ u est définie sur \left[\frac{3}{2}\,;+\infty\right[ par v\circ u(x)=\sqrt{2x-3}, tandis que u\circ v est définie sur [0\,;+\infty[ par u\circ v(x)=2\sqrt{x}-3.

Propriété — Associativité et non-commutativité

  • La composition est associative : w\circ(v\circ u)=(w\circ v)\circ u.
  • La composition n’est pas commutative : en général, v\circ u\neq u\circ v.

2. Dérivée d’une fonction composée

Théorème — Dérivée d’une composée

Soit u et v deux fonctions dérivables (conditions de définition vérifiées). Alors v\circ u est dérivable et

    \[(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u',\qquad\text{soit}\qquad (v\circ u)'(x)=v'\big(u(x)\big)\times u'(x).\]

Remarque

Cas particulier : si f(x)=u(ax+b), alors f'(x)=a\,u'(ax+b).

Exemple

u(x)=2x^2-3 et v(x)=\sqrt{x} : u'(x)=4x et v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, donc

    \[(v\circ u)'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x^2-3}}\times 4x=\frac{2x}{\sqrt{2x^2-3}}.\]

Propriété — Monotonie d’une composée

  • Si u et v ont la même monotonie, alors v\circ u est croissante.
  • Si u et v ont des monotonies contraires, alors v\circ u est décroissante.

Propriété — Dérivées usuelles

Soit u une fonction dérivable, a, b des réels et n un entier naturel non nul.

FonctionDérivéeFonctionDérivée
au+ba\,u'\sqrt{u}\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
u^22u'u\cos(u)-u'\sin(u)
u^nn\,u'u^{n-1}\sin(u)u'\cos(u)
\dfrac{1}{u}-\dfrac{u'}{u^2}\mathrm{e}^{u}u'\,\mathrm{e}^{u}
\dfrac{1}{u^n}-\dfrac{n\,u'}{u^{n+1}}

3. Convexité d’une fonction

Définition — Sécante

Soit f une fonction de courbe \mathcal{C}_f. Si A et B sont deux points de \mathcal{C}_f, la droite (AB) est appelée sécante à \mathcal{C}_f.

Définition — Convexité, concavité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que :

  • f est convexe sur I si, entre deux points quelconques A et B de \mathcal{C}_f, la courbe est en dessous de la sécante [AB] ;
  • f est concave sur I si, entre deux points quelconques A et B de \mathcal{C}_f, la courbe est au-dessus de la sécante [AB].

Propriété — Fonctions usuelles

  • Les fonctions x\mapsto x^2 et x\mapsto \mathrm{e}^x sont convexes sur \mathbb{R} ; la fonction x\mapsto\sqrt{x} est concave sur [0\,;+\infty[.
  • La fonction x\mapsto\dfrac{1}{x} est convexe sur ]0\,;+\infty[ et concave sur ]-\infty\,;0[.
  • f est convexe sur I si et seulement si -f est concave sur I.

Propriété — Inégalités de convexité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

  • f est convexe sur I si et seulement si, pour tous réels x, y de I et pour tout t\in[0\,;1] : f\big(tx+(1-t)y\big)\leqslant t f(x)+(1-t)f(y).
  • f est concave sur I si et seulement si, pour tous réels x, y de I et pour tout t\in[0\,;1] : f\big(tx+(1-t)y\big)\geqslant t f(x)+(1-t)f(y).

Lorsque ces inégalités sont strictes pour tous x\neq y de I et tout t\in\,]0\,;1[, on dit que f est strictement convexe (resp. concave) sur I.

Exemple

La fonction carré est convexe ; avec t=\frac{1}{2} : \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\leqslant\dfrac{a^2+b^2}{2}, donc (a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2).

4. Convexité et dérivées première et seconde

Théorème — Convexité et dérivée

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I ;
  • f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I.

Définition — Dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable sur I dont la dérivée f' est elle-même dérivable sur I. La dérivée seconde de f, notée f'', est la dérivée de f'.

Exemple

f(x)=x^3+4x^2+5x+1 : f'(x)=3x^2+8x+5 et f''(x)=6x+8.

Théorème — Convexité et dérivée seconde

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

  • f est convexe sur I si et seulement si f''(x)\geqslant 0 pour tout x\in I ;
  • f est concave sur I si et seulement si f''(x)\leqslant 0 pour tout x\in I.

Démonstration. f' est croissante (resp. décroissante) si et seulement si sa dérivée f'' est positive (resp. négative) ; on conclut avec le théorème précédent.

5. Tangente et point d’inflexion

Propriété — Position par rapport aux tangentes

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

  • Si f''\geqslant 0 sur I (f convexe), alors \mathcal{C}_f est au-dessus de ses tangentes ;
  • si f''\leqslant 0 sur I (f concave), alors \mathcal{C}_f est en dessous de ses tangentes.

Démonstration. Soit x_0\in I et \varphi(x)=f(x)-\big[f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\big]. Alors \varphi'(x)=f'(x)-f'(x_0). Comme f''\geqslant0, f' est croissante : \varphi'(x)\leqslant0 pour x\leqslant x_0 et \varphi'(x)\geqslant0 pour x\geqslant x_0. Ainsi \varphi admet un minimum en x_0, égal à \varphi(x_0)=0, d’où \varphi\geqslant0 sur I : \mathcal{C}_f est au-dessus de sa tangente en x_0.

Définition — Point d’inflexion

Soit f une fonction dérivable sur I, A un point de \mathcal{C}_f et T_A la tangente à \mathcal{C}_f en A. On dit que A est un point d’inflexion de \mathcal{C}_f si, au point A, la courbe \mathcal{C}_f traverse sa tangente T_A.

Propriété — Caractérisation

Si f est deux fois dérivable sur I, \mathcal{C}_f admet un point d’inflexion d’abscisse a lorsque f'' s’annule en changeant de signe en a (autrement dit lorsque f change de convexité en a, ou encore f' change de sens de variation en a).

Exemple

f(x)=x^3 : f''(x)=6x change de signe en 0. L’origine O(0\,;0) est un point d’inflexion : la courbe y traverse sa tangente, l’axe des abscisses.

Les huit exercices d’application du cours (composées, dérivées, convexité, points d’inflexion) se trouvent dans le PDF.

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Dérivation et convexité – le cours complet

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