Fiche d'entraînement DS Terminale : suites, limites, TVI, convexité + corrigé

Introduction :

Vous préparez un devoir surveillé de Terminale spécialité sur les suites et l’analyse ? Cette fiche d’entraînement avec corrigé détaillé rassemble 4 exercices de type bac, adaptés de sujets officiels récents (2022 à 2025), qui mobilisent ensemble toutes les notions du début d’année.

Au programme : suites définies par récurrence u_n+1 = f(u_n), raisonnement par récurrence, limites de fonctions et asymptotes, continuité et théorème des valeurs intermédiaires, dérivation (fonctions composées) et convexité. Deux exercices comportent un algorithme Python de seuil à corriger, une question classique du bac.

Les exercices sont adaptés des sujets du bac Centres étrangers 2024, Polynésie 2024, Polynésie 2022 et Métropole – Amérique du Nord 2025. Chaque question est accompagnée de son barème (4 exercices × 5 points), et le corrigé, placé à la suite de l’énoncé dans le même PDF, détaille chaque raisonnement.

Notre conseil : traitez la fiche en 2 heures, dans les conditions d’un devoir, avant de consulter le corrigé. Pour revoir les notions, retrouvez le cours sur la dérivation et la convexité et la fiche d’exercices n°5.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode.

Les quatre exercices sont adaptés de sujets officiels du baccalauréat (source indiquée sous chaque titre). Les questions marquées « complément » sont ajoutées pour l’entraînement. Barème : 4 × 5 points, durée conseillée 2 heures.

Exercice 1 · Limites, convexité et TVI (5 points) ★★★

D’après Bac spécialité, Centres étrangers, sujet 2, 6 juin 2024, Exercice 2.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty\,;1[$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}$ . On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) (0,5 pt) Déterminer la limite de $f$ en $1$ .
b) (0,25 pt) Interpréter graphiquement ce résultat.
(0,5 pt) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
a) (0,5 pt) Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;1[$ et que, pour tout $x< 1$ : $f'(x)=\dfrac{(x-2)\,\mathrm{e}^{x}}{(x-1)^2}$ .
b) (0,5 pt) En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations complet.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]-\infty\,;1[$ et que, pour tout $x< 1$ : $f''(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\left(x^2-4x+5\right)}{(x-1)^3}$ .
a) (0,75 pt) Étudier la convexité de $f$ sur $]-\infty\,;1[$ .
b) (0,5 pt) Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ .
c) (0,5 pt) En déduire que, pour tout réel $x< 1$ : $\mathrm{e}^{x}\geqslant(-2x-1)(x-1)$ .
a) (0,5 pt) Démontrer que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty\,;1[$ .
b) (0,5 pt) Justifier que $\alpha\in\,]0\,;1[$ , puis donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .

Corrigé

1. a) $\lim\limits_{x\to1}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}>0$ et, pour $x< 1$ , $\lim\limits_{x\to1^-}(x-1)=0^-$ . Par quotient : $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ .

b) La courbe $\mathcal C$ admet une asymptote verticale d’équation $x=1$ .

2. $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}(x-1)=-\infty$ , donc par quotient $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ . La droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $-\infty$ .

3. a) $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v(x)=x-1$ , dérivables sur $]-\infty\,;1[$ , et $v$ ne s’annule pas sur cet intervalle : $f$ est dérivable et

$f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}(x-1)-\mathrm{e}^{x}\times1}{(x-1)^2}=\frac{(x-2)\,\mathrm{e}^{x}}{(x-1)^2}.$

b) Pour $x< 1$ : $x-2< 0$ , $\mathrm{e}^{x}>0$ et $(x-1)^2>0$ , donc $f'(x)< 0$ . La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1[$ .

$x$	$-\infty$		$1$
$f'(x)$		$-$	\|\|
$f$	$0$	$\searrow$	$-\infty$

4. a) $\mathrm{e}^{x}>0$ ; le trinôme $x^2-4x+5$ a pour discriminant $\Delta=16-20=-4< 0$ , il est donc du signe de $a=1$ , c’est-à-dire strictement positif ; enfin, pour $x< 1$ , $(x-1)^3< 0$ . Donc $f''(x)< 0$ sur $]-\infty\,;1[$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;1[$ .

b) $f(0)=\dfrac{1}{-1}=-1$ et $f'(0)=\dfrac{-2\times1}{1}=-2$ . La tangente a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit $T : y=-2x-1$ .

c) $f$ est concave sur $]-\infty\,;1[$ , donc $\mathcal C$ est située en dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de $T$ : pour tout $x< 1$ , $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}\leqslant-2x-1$ . En multipliant par $x-1< 0$ , l’inégalité change de sens : $\mathrm{e}^{x}\geqslant(-2x-1)(x-1)$ pour tout $x< 1$ .

5. a) $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty\,;1[$ , avec $\lim\limits_{-\infty}f=0$ et $\lim\limits_{1^-}f=-\infty$ . Ainsi $f$ réalise une bijection de $]-\infty\,;1[$ sur $]-\infty\,;0[$ . Comme $-2\in\,]-\infty\,;0[$ , d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty\,;1[$ .

b) $f(0)=-1>-2=f(\alpha)$ et $f$ est strictement décroissante, donc $\alpha>0$ ; de plus $\alpha< 1$ . À la calculatrice : $f(0{,}31)\approx-1{,}976>-2$ et $f(0{,}32)\approx-2{,}025< -2$ , donc $0{,}31< \alpha< 0{,}32$ .

Exercice 2 · Suite récurrente u(n+1) = f(u(n)) (5 points) ★★★

D’après Bac spécialité, Polynésie, sujet 1, 19 juin 2024, Exercice 4.

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty\,;5[$ par $f(x)=\dfrac{4}{5-x}$ , et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ . L’objectif est de conjecturer en partie A, puis de démontrer en partie B, le comportement de $(u_n)$ .

Partie A — Conjectures

(0,5 pt) Recopier et compléter la fonction Python <code>suite(n)</code>, qui prend en paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$ .

def suite(n):
    u = ...
    for i in range(n):
        ...
    return u

(0,25 pt) L’appel <code>suite(2)</code> renvoie <code>1.3333333333333333</code>. Justifier cet affichage par un calcul.
(0,25 pt) On obtient : <code>suite(5)</code> $\approx1{,}005\,848$ ; <code>suite(10)</code> $\approx1{,}000\,006$ ; <code>suite(20)</code> $\approx1{,}000\,000$ . Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la convergence de $(u_n)$ .

Partie B — Démonstrations

(0,5 pt) Montrer que $f$ est croissante sur $]-\infty\,;5[$ .
(1 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant4$ .
a) (0,5 pt) Montrer que, pour tout $x< 5$ : $f(x)=x\iff x^2-5x+4=0$ .
b) (0,5 pt) Résoudre l’équation $f(x)=x$ sur $]-\infty\,;5[$ .
(1 pt) Démontrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
(0,5 pt) Le comportement de la suite serait-il le même en choisissant $u_0=4$ ? Justifier.

Corrigé

Partie A

1. Ligne 2 : <code>u = 3</code> ; ligne 4 : <code>u = 4/(5 – u)</code>.

2. $u_1=\dfrac{4}{5-3}=2$ puis $u_2=\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{4}{3}\approx1{,}333\,333$ , ce qui correspond à l’affichage.

3. On conjecture que $(u_n)$ est décroissante et qu’elle converge vers 1.

Partie B

1. $f(x)=4\times\dfrac{1}{5-x}$ est dérivable sur $]-\infty\,;5[$ et $f'(x)=\dfrac{4}{(5-x)^2}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;5[$ .

2. Soit $P(n)$ : « $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant4$ ».

Initialisation. $u_0=3$ et $u_1=2$ : $1\leqslant2\leqslant3\leqslant4$ , donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$ . Comme $f$ est croissante sur $[1\,;4]\subset\,]-\infty\,;5[$ , on obtient $f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(4)$ , soit $1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant4$ puisque $f(1)=1$ et $f(4)=4$ . Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

3. a) Pour $x< 5$ , $5-x\neq0$ et : $f(x)=x\iff\dfrac{4}{5-x}=x\iff4=x(5-x)\iff x^2-5x+4=0$ .

b) $\Delta=25-16=9$ , d’où $x_1=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{5+3}{2}=4$ , tous deux dans $]-\infty\,;5[$ : $\mathcal S=\{1\,;4\}$ .

4. D’après B.2, $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$ : elle converge (théorème de la convergence monotone) vers un réel $\ell$ avec $1\leqslant\ell\leqslant u_0=3$ . Comme $f$ est continue en $\ell$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ , en passant à la limite on obtient $f(\ell)=\ell$ , donc $\ell\in\{1\,;4\}$ . Puisque $\ell\leqslant3$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$ .

5. Non. Si $u_0=4$ , alors $u_1=f(4)=4$ et, par une récurrence immédiate, $u_n=4$ pour tout $n$ : la suite est constante et converge vers $4$ (point fixe de $f$ ), et non vers $1$ .

Exercice 3 · Une population d’oiseaux (5 points) ★★★

D’après Bac spécialité, Polynésie, sujet 2, 5 mai 2022, Exercice 3.

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=40$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0{,}008\,u_n\,(200-u_n)$ , où $u_n$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $2021+n$ . On note $f$ la fonction définie sur $[0\,;100]$ par $f(x)=0{,}008\,x\,(200-x)$ , de sorte que $u_{n+1}=f(u_n)$ .

(0,25 pt) Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux au début de l’année 2022.
(0,5 pt) Résoudre dans l’intervalle $[0\,;100]$ l’équation $f(x)=x$ .
a) (0,75 pt) Démontrer que $f$ est croissante sur $[0\,;100]$ et dresser son tableau de variations.
b) (1 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100$ .
c) (0,5 pt) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
d) (1 pt) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
On considère la fonction Python ci-dessous.

def seuil(p):
    n = 0
    u = 40
    while u < p:
        n = n + 1
        u = 0.008 * u * (200 - u)
    return n

a) (0,5 pt) On saisit <code>seuil(100)</code> : le programme ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi, à l’aide de la question 3.
b) (0,5 pt) (complément) Pour quelles valeurs de <code>p</code> le programme s’arrête-t-il ? Modifier la fonction pour qu’elle renvoie <code>-1</code> lorsque la valeur de <code>p</code> ne permet pas d’arrêt, puis donner, en l’interprétant, la valeur renvoyée par <code>seuil(74)</code>.

Corrigé

1. $u_1=0{,}008\times40\times160=51{,}2$ : environ 51 oiseaux au début de 2022.

2. $f(x)=x\iff x\big(0{,}008(200-x)-1\big)=0\iff x(0{,}6-0{,}008x)=0\iff x=0$ ou $x=\dfrac{0{,}6}{0{,}008}=75$ . $\mathcal S=\{0\,;75\}$ .

3. a) $f(x)=1{,}6x-0{,}008x^2$ donc $f'(x)=1{,}6-0{,}016x$ . Or $1{,}6-0{,}016x\geqslant0\iff x\leqslant100$ : $f'\geqslant0$ sur $[0\,;100]$ (nulle seulement en 100), donc $f$ est croissante sur $[0\,;100]$ . $f(0)=0$ et $f(100)=80$ .

$x$	$0$		$100$
$f'(x)$		$+$	$0$
$f$	$0$	$\nearrow$	$80$

b) Soit $P(n)$ : « $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100$ ». Initialisation : $0\leqslant40\leqslant51{,}2\leqslant100$ . Hérédité : si $P(n)$ est vraie, $f$ étant croissante sur $[0\,;100]$ : $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(100)$ , soit $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant80\leqslant100$ : $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100$ pour tout $n$ .

c) La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 100 : elle est convergente (convergence monotone).

d) Sa limite $\ell$ vérifie $40=u_0\leqslant\ell\leqslant100$ . La fonction $f$ (polynôme) est continue sur $[0\,;100]$ ; en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ , on obtient $f(\ell)=\ell$ , donc $\ell\in\{0\,;75\}$ . Comme $\ell\geqslant40$ : $\ell=75$ . Interprétation : à long terme, la population se stabilise autour de 75 oiseaux.

4. a) La boucle tourne tant que $u< 100$ . Or $(u_n)$ est croissante et converge vers 75, donc $u_n\leqslant75< 100$ pour tout $n$ (une suite croissante est majorée par sa limite). La condition <code>u < 100</code> est toujours vraie : la boucle est infinie et le programme ne renvoie rien.

b) $f$ étant strictement croissante, $f(x)=75\iff x=75$ ; comme $u_0\neq75$ , aucun terme n’est égal à 75, donc $u_n< 75$ pour tout $n$ . Le programme s’arrête donc si et seulement si $p< 75$ (et renvoie 0 si $p\leqslant40$ ). Correction possible :

def seuil(p):
    if p >= 75:        # la suite ne dépasse jamais 75
        return -1
    n = 0
    u = 40
    while u < p:
        n = n + 1
        u = 0.008 * u * (200 - u)
    return n

$u_5\approx73{,}60< 74$ et $u_6\approx74{,}42\geqslant74$ : <code>seuil(74)</code> renvoie $6$ . C’est au début de l’année $2021+6=$ 2027 que la colonie atteint au moins 74 oiseaux.

Exercice 4 · Deux suites, une même limite (5 points) ★★★

D’après Bac spécialité, Métropole – Amérique du Nord (septembre), sujet 1, 9 septembre 2025, Exercice 3.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la convergence de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2\,;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{3x-2}$ , et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

(0,5 pt) Justifier le tableau de variations ci-dessous.

$x$	$2$		$+\infty$
$f$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$

(0,75 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant6$ . En déduire que $(u_n)$ converge.
(0,5 pt) Déterminer la limite de $(u_n)$ .
On considère la fonction Python suivante.

from math import sqrt
def rang(a):
    n = 0
    u = 6
    while u >= a:
        n = n + 1
        u = sqrt(3*u - 2)
    return n

a) (0,25 pt) Justifier que <code>rang(2.000001)</code> renvoie une valeur.
b) (0,5 pt) Déterminer les valeurs du réel $a$ pour lesquelles <code>rang(a)</code> renvoie une valeur.
c) (0,25 pt) (complément) Corriger la fonction pour qu’elle ne puisse jamais tourner indéfiniment (on renverra <code>None</code> dans les cas problématiques).

Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}=3-\dfrac{2}{v_n}$ . On admet que, pour tout $n$ , $v_n>2$ .

(0,25 pt) Calculer $v_1$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $w_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}$ .
a) (0,5 pt) Démontrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
b) (0,5 pt) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ , puis montrer que $v_n=\dfrac{2w_n-1}{w_n-1}$ .
c) (0,25 pt) En déduire la limite de $(v_n)$ .
d) (0,5 pt) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_n< 2{,}01$ .

Partie C

(0,25 pt) On admet que $(v_n)$ est décroissante. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n\geqslant N$ , les termes $u_n$ et $v_n$ appartiennent tous deux à l’intervalle $]1{,}99\,;2{,}01[$ .

Corrigé

Partie A

1. Sur $[2\,;+\infty[$ , $3x-2\geqslant4>0$ ; $f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x-2$ est donc dérivable et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}>0$ : $f$ est strictement croissante. $f(2)=\sqrt4=2$ et, par composition, $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{3x-2}=+\infty$ . Le tableau est justifié.

2. Soit $P(n)$ : « $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant6$ ». Initialisation : $u_0=6$ , $u_1=\sqrt{16}=4$ et $2\leqslant4\leqslant6\leqslant6$ . Hérédité : si $P(n)$ est vraie, $f$ étant croissante sur $[2\,;+\infty[$ : $f(2)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(6)$ , soit $2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant4\leqslant6$ . Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n$ . La suite est décroissante et minorée par 2 : elle converge.

3. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell\geqslant2$ et, $f$ étant continue sur $[2\,;+\infty[$ , $f(\ell)=\ell$ : $\sqrt{3\ell-2}=\ell\iff3\ell-2=\ell^2$ (car $\ell\geqslant0$ ) $\iff\ell^2-3\ell+2=0\iff\ell\in\{1\,;2\}$ . Comme $\ell\geqslant2$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2$ .

4. a) $(u_n)$ converge vers $2< 2{,}000\,001$ : l’intervalle $]1\,;2{,}000\,001[$ contient la limite, donc il contient tous les termes à partir d’un certain rang. La condition <code>u >= a</code> finit par être fausse et la fonction renvoie une valeur (on trouve $49$ à la calculatrice).

b) Si $a>2$ : même raisonnement, la fonction s’arrête (elle renvoie 0 si $a>6$ ). Si $a\leqslant2$ : pour tout $n$ , $u_n\geqslant2\geqslant a$ , la condition reste toujours vraie et la boucle est infinie. Conclusion : <code>rang(a)</code> renvoie une valeur si et seulement si $a>2$ .

c) On ajoute un test en début de fonction :

from math import sqrt
def rang(a):
    if a <= 2:         # la suite ne passe jamais sous 2
        return None
    n = 0
    u = 6
    while u >= a:
        n = n + 1
        u = sqrt(3*u - 2)
    return n

Partie B

1. $v_1=3-\dfrac{2}{6}=\dfrac{8}{3}$ .

2. a) Pour tout $n$ :

$w_{n+1}=\frac{v_{n+1}-1}{v_{n+1}-2}=\frac{2-\frac{2}{v_n}}{1-\frac{2}{v_n}}=\frac{\frac{2(v_n-1)}{v_n}}{\frac{v_n-2}{v_n}}=2\times\frac{v_n-1}{v_n-2}=2\,w_n.$

$(w_n)$ est géométrique de raison 2, de premier terme $w_0=\dfrac{6-1}{6-2}=\dfrac{5}{4}$ .

b) $w_n=\dfrac{5}{4}\times2^n$ . De $w_n(v_n-2)=v_n-1$ on tire $v_n(w_n-1)=2w_n-1$ ; or $w_n\geqslant\frac{5}{4}>1$ , donc $w_n-1\neq0$ et $v_n=\dfrac{2w_n-1}{w_n-1}$ .

c) $2>1$ donc $\lim 2^n=+\infty$ et $\lim w_n=+\infty$ . Comme $v_n=\dfrac{2-\frac{1}{w_n}}{1-\frac{1}{w_n}}$ , on obtient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=2$ .

d) $v_n-2=\dfrac{2w_n-1-2(w_n-1)}{w_n-1}=\dfrac{1}{w_n-1}$ . Ainsi $v_n< 2{,}01\iff\dfrac{1}{w_n-1}< 0{,}01\iff w_n-1>100\iff\dfrac{5}{4}\,2^n>101\iff2^n>80{,}8$ . Comme $2^6=64$ et $2^7=128$ , le plus petit entier cherché est $n=7$ ( $v_6\approx2{,}0127$ et $v_7\approx2{,}0063$ ).

Partie C

Pour tout $n$ , $u_n\geqslant2>1{,}99$ et $v_n>2>1{,}99$ : seule la borne $2{,}01$ compte. Les deux suites sont décroissantes ; à la calculatrice $u_{16}\approx2{,}0116$ et $u_{17}\approx2{,}0087$ , donc $u_n< 2{,}01$ dès que $n\geqslant17$ ; et $v_n< 2{,}01$ dès que $n\geqslant7$ . Donc $N=17$ .