Exercices dérivation et convexité Terminale

Introduction :

Vous travaillez le chapitre dérivation et convexité en Terminale ? Cette fiche d’exercices n°5 vous propose 12 exercices progressifs pour maîtriser les notions du chapitre, du calcul de dérivées jusqu’aux études complètes de fonctions.

Les premiers exercices portent sur la composition de fonctions et le calcul de dérivées de fonctions composées. Viennent ensuite l’étude de la convexité à l’aide de la dérivée seconde, la recherche de points d’inflexion, la position d’une courbe par rapport à ses tangentes et les inégalités de convexité, comme e^x ≥ 1 + x.

Les exercices 10 à 12 sont extraits de sujets du bac (Asie 2024, Centres étrangers 2023 et Nouvelle-Calédonie 2023). Chaque exercice est coté de ★★ (bon niveau) à ★★★★ (très exigeant) pour vous aider à vous situer.

Notre conseil : revoyez d’abord le cours sur la dérivation et la convexité, puis traitez les exercices dans l’ordre : l’exercice 9 réutilise l’inégalité démontrée dans l’exercice 6. Gardez les extraits de bac pour la fin et faites-les en temps limité, comme le jour de l’examen.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse.

Difficulté : ★★ bon niveau · ★★★ exigeant · ★★★★ très exigeant. Les exercices 10 à 12 sont des extraits de sujets de bac.

Exercice 1 ★★★

On considère $u : x\mapsto1-x^2$ , $v : x\mapsto\sqrt{x}$ et $w : x\mapsto\dfrac{1}{x}$ .

Déterminer l’ensemble de définition de $v\circ u$ et de $u\circ v$ , puis leurs expressions. Sont-elles égales ?
Soit $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . Écrire $f$ comme composée de $u$ , $v$ , $w$ et préciser son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ .
Sans calculer de dérivée, déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0\,;1[$ .

Exercice 2 ★★★

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

a) $f(x)=(3x^2-1)^4$ sur $\mathbb{R}$ ; $\quad$ b) $g(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{2x}+1}$ sur $\mathbb{R}$ ; $\quad$ c) $h(x)=\mathrm{e}^{-1/x}$ sur $]0\,;+\infty[$ ; $\quad$ d) $k(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3 ★★★

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}$ .

Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Calculer $f'(x)$ , puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises). Préciser le minimum de $f$ .

Exercice 4 ★★★

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-3)\,\mathrm{e}^x$ .

Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ .
Étudier la convexité de $f$ et déterminer les abscisses des points d’inflexion de $\mathcal{C}_f$ .
Préciser la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente au point d’abscisse $0$ sur l’intervalle $\left[-2-\sqrt5\,;-2+\sqrt5\right]$ .

Exercice 5 ★★★

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2+4x$ .

Étudier la convexité de $f$ et déterminer les points d’inflexion de $\mathcal{C}_f$ .
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ .
Vérifier que, pour tout réel $x$ , $f(x)-(-4x+3)=(x-1)^3(x+3)$ . En déduire la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ . Ce résultat est-il cohérent avec la question 1 ?

Exercice 6 ★★★

En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, démontrer que pour tout réel $x$ : $\mathrm{e}^x\geqslant1+x$ .
En déduire que pour tout réel $x< 1$ : $\mathrm{e}^x\leqslant\dfrac{1}{1-x}$ .
Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}}\leqslant\dfrac{\mathrm{e}^a+\mathrm{e}^b}{2}$ .

Exercice 7 ★★★

On cherche les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que la fonction $f : x\mapsto x^3+ax^2+bx+c$ admette pour courbe $\mathcal{C}_f$ une courbe ayant un point d’inflexion en $I(1\,;2)$ , la tangente en $I$ ayant pour coefficient directeur $-3$ .

Traduire ces conditions par un système et déterminer $a$ , $b$ et $c$ .
Vérifier que, pour tout réel $x$ , $f(2-x)+f(x)=4$ . Interpréter graphiquement.

Exercice 8 ★★★

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}$ .

Montrer que $f''(x)=2(2x^2-1)\,\mathrm{e}^{-x^2}$ , puis étudier la convexité de $f$ .
Déterminer les coordonnées des deux points d’inflexion de $\mathcal{C}_f$ .
Montrer que les tangentes à $\mathcal{C}_f$ en ces deux points se coupent en un point de l’axe des ordonnées dont on donnera les coordonnées.

Exercice 9 ★★★★

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\,\mathrm{e}^{1/x}$ .

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et, en posant $X=\frac{1}{x}$ , sa limite en $0$ .
Montrer que $f'(x)=\dfrac{x-1}{x}\,\mathrm{e}^{1/x}$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $f''(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{1/x}}{x^3}$ . Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point d’abscisse $1$ ?
À l’aide de l’exercice 6, montrer que pour tout $x>0$ : $f(x)\geqslant x+1$ .
En reconnaissant un taux d’accroissement, montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}x\big(\mathrm{e}^{1/x}-1\big)=1$ . En déduire que la droite d’équation $y=x+1$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ , et préciser la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette asymptote.

Exercice 10 ★★★

Bac Asie, 10 juin 2024 (Jour 1), Exercice 1 – Partie B, q. 1

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(4x-2)\,\mathrm{e}^{-x+1}$ , deux fois dérivable sur cet intervalle.

a) Montrer que pour tout $x\geqslant0$ : $f'(x)=(-4x+6)\,\mathrm{e}^{-x+1}$ .
b) En déduire le tableau complet des variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ . On admet que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ .
c) On admet que $f''(x)=(4x-10)\,\mathrm{e}^{-x+1}$ . Étudier la convexité de $f$ et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$ .

Exercice 11 ★★★

Bac Centres étrangers (groupe 2), session 2023, Sujet 2, Exercice 1 – Parties B et C

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-3x}}$ et $A\left(0\,;\frac{1}{2}\right)$ le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $0$ .

Montrer que $f'(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^{-3x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)^2}$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . Interpréter graphiquement.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ .
On admet que $f''(x)=\dfrac{9\mathrm{e}^{-3x}\left(\mathrm{e}^{-3x}-1\right)}{\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)^3}$ . Étudier le signe de $f''$ , préciser les intervalles où $f$ est convexe, concave, et la nature du point $A$ .
En déduire la position relative de $T$ et de $\mathcal{C}_f$ .

Exercice 12 ★★★★

Bac Nouvelle-Calédonie, session 2023, Sujet 2, Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ .
Montrer que $f'(x)=(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}$ ; étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0{,}367$ sur $[0\,;+\infty[$ .
On admet que $f''(x)=(x-2)\,\mathrm{e}^{-x}$ . Étudier la convexité de $f$ .
Soit $a\geqslant0$ , $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ et $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ .
a) Montrer qu’une équation de $T_a$ est $y=(1-a)\,\mathrm{e}^{-a}x+a^2\mathrm{e}^{-a}$ .
b) On note $H_a$ le point d’intersection de $T_a$ avec l’axe des ordonnées et $g(a)$ son ordonnée. Exprimer $g(a)$ .
c) Montrer que $g(a)$ est maximale lorsque $A$ est le point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$ .