Variations et courbes représentatives — Cours de Première spécialité

Introduction :

Étudier les variations d’une fonction est l’une des principales applications de la dérivation en Première : le signe de la dérivée indique où la fonction croît et où elle décroît, ce qui permet de tracer l’allure de sa courbe représentative.

Dans ce chapitre 5 de Première spécialité mathématiques, nous établissons le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée, puis nous apprenons à dresser un tableau de variations complet. Nous définissons ensuite les extremums locaux (minimum et maximum local) et montrons comment les repérer grâce au nombre dérivé : la dérivée s’annule en changeant de signe.

Les propriétés sont démontrées ou illustrées par des exemples détaillés, comme l’étude complète de f(x) = x³ − 2x² − 4x + 1 ou le contre-exemple de la fonction cube. Le cours se termine par 6 exercices d’application, dont plusieurs problèmes d’optimisation (bordure d’un bassin, volume maximal d’une boîte).

Objectif : savoir étudier les variations d’une fonction et déterminer ses extremums, pour résoudre des problèmes concrets d’optimisation.

Avant ce chapitre, revoyez le cours sur la dérivation en Première. Pour vous entraîner, retrouvez la fiche d’exercices n°5 sur les variations et les courbes représentatives.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Le cours en version texte

Voici l’essentiel du cours, lisible directement en ligne. Le PDF, à télécharger en bas de page, reste la version de référence, avec la mise en page complète et les exercices d’application.

1. Variations d’une fonction

Propriété — Variations d’une fonction et signe de sa dérivée

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

  • Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x de I, f'(x)\geqslant 0.
  • Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x de I, f'(x)\leqslant 0.
  • Si f est constante sur I, alors pour tout réel x de I, f'(x)=0.

Démonstration. Soit a\in I et f croissante sur I. Pour tout x\in I, x\neq a : si x< a, alors f(x)\leqslant f(a) ; si x>a, alors f(x)\geqslant f(a). Dans les deux cas, x-a et f(x)-f(a) sont de même signe, donc le taux de variation \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} est positif. On admet que, par passage à la limite, ce résultat est conservé : f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geqslant 0. Les deux autres cas se traitent de la même façon.

Propriété — Signe de la dérivée et variations d’une fonction

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

  • Si, pour tout réel x de I, f'(x)>0 (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où f'(x) s’annule), alors f est strictement croissante sur I.
  • Si, pour tout réel x de I, f'(x)<0 (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où f'(x) s’annule), alors f est strictement décroissante sur I.
  • Si, pour tout réel x de I, f'(x)=0, alors f est constante sur I.

Remarque

f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si, pour tout réel x de I, f'(x)\geqslant 0 (resp. f'(x)\leqslant 0).

Exemple

Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x)=5x^2-3x+9. f est une fonction polynôme, donc dérivable sur \mathbb{R}, et f'(x)=10x-3. Or 10x-3=0\iff x=\dfrac{3}{10} et 10x-3>0\iff x>\dfrac{3}{10}. On dresse le tableau de signe de f'(x) et le tableau de variations de f dans un même tableau, avec f\left(\dfrac{3}{10}\right)=\dfrac{171}{20} :

x-\infty\frac{3}{10}+\infty
signe de f'(x)-0+
variations de f\searrow\frac{171}{20}\nearrow

f est strictement décroissante sur \left]-\infty\,;\frac{3}{10}\right] et strictement croissante sur \left[\frac{3}{10}\,;+\infty\right[.

2. Nombre dérivé et extremums locaux

Définition — Minimum local et maximum local

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x_0\in I.

  • f admet un minimum local en x_0 s’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I, contenant x_0, tel que pour tout x de J, f(x)\geqslant f(x_0).
  • f admet un maximum local en x_0 s’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I, contenant x_0, tel que pour tout x de J, f(x)\leqslant f(x_0).

Un minimum ou un maximum local est appelé extremum local.

Exemple

Soit f définie sur [-8\,;7] par le tableau de variations suivant.

x-8-147
variations de f10\searrow-2\nearrow6\searrow-5

Pour tout x\in\,]-8\,;4[, f(x)\geqslant f(-1) : f admet un minimum local en -1, égal à -2. Ce n’est pas le minimum de f sur [-8\,;7], car f(7)=-5.

Propriété — Dérivée et extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x_0\in I. Si f admet un extremum local en x_0, alors f'(x_0)=0.

Exemple

Pour f(x)=ax^2+bx+c (a\neq0), on sait que f admet un extremum en \alpha=-\dfrac{b}{2a} ; et en effet f'(\alpha)=2a\times\left(-\dfrac{b}{2a}\right)+b=0.

Propriété — Caractérisation d’un extremum

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I=\,]a\,;b[ et x_0\in I. Si f'(x_0)=0 et si f' change de signe en x_0, alors f admet un extremum local en x_0.

Minimum local en x0 :

xax_0b
f'(x)-0+
f\searrowf(x_0)\nearrow

Maximum local en x0 :

xax_0b
f'(x)+0-
f\nearrowf(x_0)\searrow

Exemple

Soit f(x)=x^3-2x^2-4x+1 sur \mathbb{R}. Alors f'(x)=3x^2-4x-4, trinôme de discriminant \Delta=64 et de racines x_1=-\dfrac{2}{3} et x_2=2. f'(x) est du signe de a=3 à l’extérieur des racines :

x-\infty-\frac{2}{3}2+\infty
f'(x)+0-0+
f\nearrow\frac{67}{27}\searrow-7\nearrow

f admet un maximum local en -\dfrac{2}{3} (égal à \dfrac{67}{27}) et un minimum local en 2 (égal à -7).

Remarque

La condition de changement de signe est indispensable. La fonction cube x\mapsto x^3 a pour dérivée x\mapsto 3x^2 : elle s’annule en 0 mais reste positive, donc la fonction cube est strictement croissante sur \mathbb{R} et n’admet pas d’extremum local en 0.

Les six exercices d’application du cours (études de variations, extremums et problèmes d’optimisation) se trouvent dans le PDF.

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Variations et courbes représentatives – le cours complet

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