Calculer les termes d'une suite en Python

Introduction

Dans ce deuxième chapitre, on apprend à calculer les termes d’une suite définie par récurrence avec une boucle Pour : on part de u₀ et on applique n fois la relation u_n+1 = f(u_n), avec une seule variable qui se met à jour à chaque tour.

Le cours avance en quatre packs : le calcul de u_n, une relation de récurrence qui dépend de n, la liste des premiers termes en Python (avec L[0], L[-1] et len) et deux suites qui dépendent l’une de l’autre. Chaque programme est écrit en algorithme, en Python et sur TI-82, avec un tableau d’exécution.

Deux pièges classiques sont expliqués en détail : le décalage d’indice de la TI-82 en mode Suite et l’écrasement d’une variable lorsque deux suites sont couplées.

Chapitre précédent : chapitre 1 – les bases : variables, boucles, conditions · chapitre suivant : chapitre 3 – sommes et produits de termes. Retrouvez tous les chapitres dans la rubrique Algorithmique et Python.

Cours proposé par Pr. Elakili sur Mission Maths 360.

Méthode

Pour une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ , on part de $u_0$ et on applique $n$ fois la relation de récurrence : on sait combien de tours faire, donc on utilise une boucle Pour. Une seule variable $u$ suffit : à chaque tour, la nouvelle valeur remplace l’ancienne.

1. Calculer un terme

Pack 1 – calcul de $u_n$

On considère la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Algorithme

Saisir n
u ← 2
Pour k allant de 1 à n
u ← 0,5 u + 3
Fin Pour
Afficher u

Python

def terme(n):
    u = 2
    for k in range(n):
        u = 0.5*u + 3
    return u

TI-82

:Prompt N
:2→U
:Pour(K,1,N)
:0.5U+3→U
:Fin
:Disp U

Tableau d’exécution pour $n=3$ :

tour	avant	1	2	3
u	2	4	5	5,5

Le programme renvoie 5.5 : c’est $u_3$ . À la main : $u_1=4$ , $u_2=5$ , $u_3=5{,}5$ . Et terme(10) renvoie 5.99609375.

Pack 2 – la relation dépend de n

On considère la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+2n+1$ .

Algorithme

Saisir n
u ← 1
Pour k allant de 0 à n − 1
u ← u + 2k + 1
Fin Pour
Afficher u

Python

def terme2(n):
    u = 1
    for k in range(n):
        u = u + 2*k + 1
    return u

TI-82

:Prompt N
:1→U
:Pour(K,0,N-1)
:U+2K+1→U
:Fin
:Disp U

Au tour où le compteur vaut $k$ , la variable contient $u_k$ et on calcule $u_{k+1}=u_k+2k+1$ : le compteur joue le rôle de $n$ , il doit donc aller de $0$ à $n-1$ . Termes obtenus : $1$ , $2$ , $5$ , $10$ , $17$ , $26$ $\Rightarrow$ on conjecture $u_n=n^2+1$ (à démontrer par récurrence).

2. Sur la TI-82 sans programme : le mode Suite et la table

mode : choisir SUITE (au lieu de FONCTION), entrer.
f(x) : remplir nMin=0, u(n)=0.5u(n-1)+3, u(nMin)=2. La lettre u : 2nde 7 ; la lettre n : X,T,θ,n.
2nde fenêtre (déf table) : DébTable=0, PasTable=1.
2nde graphe (table) : on lit $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , … en faisant défiler.

n	u
0	2
1	4
2	5
3	5,5
4	5,75

Piège de la TI : elle calcule u(n) à partir de u(n − 1)

La relation $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ se tape u(n)=0.5u(n-1)+3. Quand la relation contient $n$ , on remplace $n$ par $n-1$ : $u_{n+1}=u_n+2n+1$ se tape u(n)=u(n-1)+2(n-1)+1.

3. Les listes en Python

Trois façons de créer une liste (exigées par le programme)

En extension : L = [1, 4, 9, 16].
Par ajouts successifs : L = [], puis L.append(x) dans une boucle (pack 3).
En compréhension : [3*2**k for k in range(6)] donne [3, 6, 12, 24, 48, 96] : idéal pour une suite explicite ( $v_k=3\times 2^k$ ). Pour un seul terme d’une suite explicite, pas de boucle : return 3*2**n (TI : 3*2^N).

Pack 3 – la liste des premiers termes $[u_0,u_1,\dots,u_n]$

Toujours avec $u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Algorithme

Saisir n
L ← [ 2 ]
Pour k allant de 1 à n
ajouter à L le nombre
0,5 × (dernier élément) + 3
Fin Pour
Afficher L

Python

def liste_termes(n):
    L = [2]
    for k in range(n):
        L.append(0.5*L[-1] + 3)
    return L

TI-82

:Prompt N
:{2}→L1
:Pour(K,1,N)
:0.5L1(K)+3→L1(K+1)
:Fin
:Disp L1
(L1 : 2nde 1)

liste_termes(4) renvoie [2, 4.0, 5.0, 5.5, 5.75] : $n+1$ termes, de $u_0$ à $u_n$ .

À retenir

En Python, L[0] est le premier élément (donc $u_0$ ), L[-1] le dernier, len(L) le nombre d’éléments, L.append(x) ajoute x à la fin. Sur la TI, les listes commencent à l’indice 1 : L1(1) contient $u_0$ .

Pack 4 – deux suites qui dépendent l’une de l’autre

On pose $u_0=1$ , $v_0=12$ et, pour tout $n$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{3}$ et $v_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}{4}$ .

Algorithme

Saisir n
u ← 1 ; v ← 12
Pour k allant de 1 à n
    w ← u (on garde u_k)
    u ← (u + 2v)/3
    v ← (w + 3v)/4
Fin Pour
Afficher u et v

Python

def deux_suites(n):
    u, v = 1, 12
    for k in range(n):
        u, v = ((u + 2*v)/3,
                (u + 3*v)/4)
    return u, v

TI-82

:Prompt N
:1→U
:12→V
:Pour(K,1,N)
:U→W
:(U+2V)/3→U
:(W+3V)/4→V
:Fin
:Disp U,V

Le piège de l’écrasement

Si l’on écrit u = (u+2*v)/3 puis v = (u+3*v)/4, le calcul de $v$ utilise le nouveau $u$ : on obtient $v_1\approx 11{,}08$ au lieu de $v_1=\dfrac{37}{4}=9{,}25$ . Il faut sauvegarder $u_k$ dans une variable auxiliaire $w$ – ou, en Python, utiliser l’affectation simultanée u, v = …, ….

Résultats :

n	0	1	2	3
$u_n$	1	8,333	8,944	8,995
$v_n$	12	9,25	9,021	9,002

Les deux suites semblent converger vers la même limite 9.

4. À vous de jouer

Exercice 1 · À vous de jouer ★★★

Algorithme + Python + TI-82 à chaque fois.

Soit $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ . Écrire un programme qui renvoie $u_n$ , puis vérifier avec le mode Suite de la TI.
Soit $w_0=3$ et $w_{n+1}=2w_n-n$ . Écrire la relation à taper dans le mode Suite de la TI, puis un programme renvoyant la liste $[w_0,\dots,w_n]$ .
Écrire en une ligne la liste des 11 premiers termes de la suite $t_n=n^2+1$ .
Soit $a_0=1$ et $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{n+1}$ . Écrire le programme (algorithme, Python, TI) qui renvoie $a_n$ . Calculer $a_5$ ; que reconnaît-on ?