Évaluation de Terminale : suites, limites et continuité (2 novembre 2026)

Introduction :

Voici l’évaluation de Terminale spécialité donnée le lundi 2 novembre 2026, d’une durée d’une heure, sur trois chapitres : les suites et le raisonnement par récurrence, les limites de fonctions, et la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires. Elle comporte 4 exercices, pour un total de 20 points.

Vous y travaillerez la démonstration par récurrence, l’étude d’une suite arithmético-géométrique (monotonie, convergence, suite auxiliaire géométrique, recherche d’un seuil), le calcul de limites de fonctions (asymptotes, croissances comparées, quantité conjuguée, théorème des gendarmes), la continuité d’une fonction définie par morceaux et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour encadrer la solution d’une équation.

Notre conseil : faites l’évaluation en temps limité (1 h), sans le cours, avant de consulter le corrigé. Pour revoir les notions, retrouvez les chapitres Suites et récurrence, Limites de fonctions et Continuité et TVI.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode et le barème.

Avant de commencer

Évaluation de Terminale spécialité — suites, limites, continuité. Durée : 1 heure. Barème sur 20 points. La calculatrice (TI-83 Premium CE) est utile pour l’exercice 4. Toutes les réponses doivent être justifiées ; la qualité de la rédaction est prise en compte.

Exercice 1 · Raisonnement par récurrence 3 points

Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$ : $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ .

Corrigé

Soit $P(n)$ : « $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ ».

Initialisation : pour $n=1$ , le membre de gauche vaut $1$ et $1^2=1$ : $P(1)$ est vraie. (0,5 pt)

Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n\geqslant1$ . Alors $1+3+\cdots+(2n-1)+\big(2(n+1)-1\big)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ , donc $P(n+1)$ est vraie. (2 pts)

Conclusion : ⇝ pour tout $n\geqslant1$ , $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ . (0,5 pt)

Exercice 2 · Suite arithmético-géométrique 6 points

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=\frac23u_n+1$ .

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ . (0,5 pt)

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3$ . (2 pts)

3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)

4. On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_n=u_n-3$ . a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. (1 pt) b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . En déduire la limite de $(u_n)$ . (1 pt)

5. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>2{,}99$ . (1 pt)

Corrigé

1. $u_1=\frac23\times2+1=\frac73$ et $u_2=\frac23\times\frac73+1=\frac{23}9$ .

2. Soit $P(n)$ : « $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3$ ». Initialisation : $u_0=2\leqslant\frac73\leqslant3$ . Hérédité : si $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3$ , on multiplie par $\frac23>0$ puis on ajoute $1$ : $\frac23u_n+1\leqslant\frac23u_{n+1}+1\leqslant\frac23\times3+1$ , soit $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant3$ . ⇝ Pour tout $n\in\mathbb N$ , $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3$ .

3. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : ⇝ elle converge.

4. a) $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\frac23u_n-2=\frac23(u_n-3)=\frac23v_n$ : ⇝ $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\frac23$ et de premier terme $v_0=-1$ .

4. b) ⇝ $v_n=-\left(\frac23\right)^n$ et $u_n=3-\left(\frac23\right)^n$ . Comme $-1<\frac23<1$ , $\left(\frac23\right)^n\to0$ , donc ⇝ $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3$ .

5. $u_n>2{,}99\iff\left(\frac23\right)^n<0{,}01$ . La suite $\left(\left(\frac23\right)^n\right)$ est décroissante ; à la calculatrice, $\left(\frac23\right)^{11}\approx0{,}0116$ et $\left(\frac23\right)^{12}\approx0{,}0077$ . ⇝ $n=12$ .

Exercice 3 · Limites de fonctions 5 points

Déterminer les limites suivantes, et donner une interprétation graphique pour a) et b) :

a) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x+2}{2x^2+5}$ (0,75 pt) ; b) $\lim\limits_{x\to-2^-}\dfrac{x-1}{x+2}$ et $\lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{x-1}{x+2}$ (1 pt) ; c) $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\mathrm e^x-x^2\right)$ (0,75 pt) ;

d) $\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+1)\,\mathrm e^x$ (0,75 pt) ; e) $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)$ (1 pt) ; f) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3+\sin x}{x^2}$ (0,75 pt).

Corrigé

a) Pour $x\neq0$ : $\dfrac{3x^2-x+2}{2x^2+5}=\dfrac{3-\frac1x+\frac2{x^2}}{2+\frac5{x^2}}$ , qui tend vers $\frac32$ . ⇝ Limite $\frac32$ : asymptote horizontale $y=\frac32$ en $+\infty$ .

b) $x-1\to-3<0$ . En $-2^-$ , $x+2\to0^-$ : limite $+\infty$ ; en $-2^+$ , $x+2\to0^+$ : limite $-\infty$ . ⇝ Asymptote verticale d’équation $x=-2$ .

c) $\mathrm e^x-x^2=\mathrm e^x\left(1-\dfrac{x^2}{\mathrm e^x}\right)$ ; par croissances comparées $\dfrac{x^2}{\mathrm e^x}\to0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ . ⇝ Limite $+\infty$ .

d) $(2x+1)\mathrm e^x=2x\mathrm e^x+\mathrm e^x$ ; par croissances comparées $x\mathrm e^x\to0$ en $-\infty$ , et $\mathrm e^x\to0$ . ⇝ Limite $0$ .

e) Quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+3}-x=\dfrac{(x^2+3)-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x}=\dfrac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}$ , et le dénominateur tend vers $+\infty$ . ⇝ Limite $0$ .

f) $-1\leqslant\sin x\leqslant1$ , donc pour $x>0$ : $\dfrac{2}{x^2}\leqslant\dfrac{3+\sin x}{x^2}\leqslant\dfrac{4}{x^2}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ ; par le théorème des gendarmes, ⇝ limite $0$ .

Exercice 4 · Continuité et théorème des valeurs intermédiaires 6 points

Partie A. Soit $a$ un réel et $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=a\,\mathrm e^x+1$ si $x<0$ et $g(x)=x^2+3$ si $x\geqslant0$ . Déterminer $a$ pour que $g$ soit continue sur $\mathbb R$ . (1,5 pt)

Partie B. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3+3x-5$ .

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . (1 pt)

2. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$ . (1 pt)

3. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ , puis que $1<\alpha<2$ . (1,5 pt)

4. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ . (0,5 pt)

5. En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ . (0,5 pt)

Corrigé

Partie A. Sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , $g$ est continue (exponentielle et polynôme). En $0$ : $g(0)=3$ et $\lim\limits_{x\to0^-}(a\,\mathrm e^x+1)=a+1$ . $g$ est continue en $0$ si et seulement si $a+1=3$ : ⇝ $a=2$ .

Partie B.

1. Pour $x\neq0$ : $f(x)=x^3\left(1+\dfrac3{x^2}-\dfrac5{x^3}\right)$ , et la parenthèse tend vers $1$ . ⇝ $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. $f'(x)=3x^2+3>0$ pour tout réel $x$ : ⇝ $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .

3. $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $\mathbb R$ , de $-\infty$ à $+\infty$ , et $0$ est compris entre ces limites. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ . De plus $f(1)=-1<0$ et $f(2)=9>0$ , donc, $f$ étant croissante, ⇝ $1<\alpha<2$ .

4. À la calculatrice (table de valeurs) : $f(1{,}15)\approx-0{,}029<0$ et $f(1{,}16)\approx0{,}041>0$ . Comme $f$ est strictement croissante, ⇝ $1{,}15<\alpha<1{,}16$ . Pour la méthode à la calculatrice, revoir la vidéo sur la TI-83 Premium CE.