Évaluation de Première : second degré et dérivation (2 novembre 2026)

Introduction :

Voici l’évaluation de Première spécialité donnée le lundi 2 novembre 2026, d’une durée d’une heure, sur deux chapitres : le second degré et la dérivation. Elle comporte 4 exercices notés chacun sur 5 points.

Vous y travaillerez la forme canonique et le sommet d’une parabole, le discriminant, les racines et la forme factorisée, le tableau de signe d’un trinôme, les équations et inéquations du second degré (dont une inéquation quotient), les calculs de dérivées (produit, quotient, racine carrée d’une fonction affine) et les équations de tangentes, jusqu’à la recherche des tangentes passant par un point donné.

Notre conseil : faites l’évaluation en temps limité (1 h), sans le cours, avant de consulter le corrigé. Pour revoir les notions, retrouvez le cours sur le trinôme du second degré et le cours sur la dérivation.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode et le barème.

Avant de commencer

Évaluation de Première spécialité — second degré et dérivation. Durée : 1 heure. Barème sur 20 points (4 exercices de 5 points). Toutes les réponses doivent être justifiées ; la qualité de la rédaction est prise en compte.

Exercice 1 · Étude d’un trinôme 5 points

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=-2x^2+8x-6$ , et $\mathcal P$ sa parabole représentative.

1. Déterminer la forme canonique de $f(x)$ et en déduire les coordonnées du sommet $S$ de $\mathcal P$ . (1,5 pt)

2. Calculer le discriminant, déterminer les racines de $f$ et en déduire sa forme factorisée. (1,5 pt)

3. Dresser le tableau de signe de $f(x)$ , puis résoudre l’inéquation $f(x)\geqslant0$ . (1 pt)

4. Résoudre dans $\mathbb R$ l’équation $f(x)=-6$ . (1 pt)

Corrigé

1. $f(x)=-2(x^2-4x)-6=-2\left[(x-2)^2-4\right]-6$ . ⇝ $f(x)=-2(x-2)^2+2$ , sommet $S(2\,;2)$ .

2. $\Delta=8^2-4\times(-2)\times(-6)=64-48=16>0$ : $x_1=\frac{-8-4}{-4}=3$ et $x_2=\frac{-8+4}{-4}=1$ . ⇝ $f(x)=-2(x-1)(x-3)$ .

3. $a=-2<0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines. Ainsi $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;1[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ , $f(x)>0$ sur $]1\,;3[$ et $f(1)=f(3)=0$ . ⇝ $S=[1\,;3]$ .

4. $f(x)=-6\iff-2x^2+8x=0\iff-2x(x-4)=0$ . ⇝ $S=\{0\,;4\}$ .

Exercice 2 · Équations et inéquations 5 points

Résoudre dans $\mathbb R$ :

a) $2x^2+x-6=0$ (1,5 pt) ; b) $x^2-6x+9>0$ (1 pt) ; c) $\dfrac{x^2-x-2}{x+3}\leqslant0$ , en dressant un tableau de signe (2,5 pts).

Corrigé

a) $\Delta=1+48=49$ : $x=\frac{-1\pm7}{4}$ . ⇝ $S=\left\{-2\,;\frac32\right\}$ .

b) $x^2-6x+9=(x-3)^2$ ( $\Delta=0$ , racine double $3$ ). Un carré est strictement positif sauf là où il s’annule. ⇝ $S=\mathbb R\setminus\{3\}$ .

c) Numérateur : $\Delta=1+8=9$ , racines $-1$ et $2$ ; il est positif à l’extérieur des racines ( $a=1>0$ ). Dénominateur : $x+3$ s’annule en $-3$ (valeur interdite) et est positif pour $x>-3$ .

Tableau de signe du quotient : sur $]-\infty\,;-3[$ : $(+)/(-)$ , négatif ; sur $]-3\,;-1[$ : $(+)/(+)$ , positif ; sur $]-1\,;2[$ : $(-)/(+)$ , négatif ; sur $]2\,;+\infty[$ : positif. Le quotient s’annule en $-1$ et $2$ , et n’est pas défini en $-3$ . ⇝ $S=\,]-\infty\,;-3[\,\cup\,[-1\,;2]$ .

Exercice 3 · Calculs de dérivées 5 points

Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l’ensemble sur lequel elle est dérivable et calculer sa fonction dérivée (1 pt par fonction) :

a) $f(x)=4x^3-5x^2+x-2$ ; b) $g(x)=(3x-1)(x^2+2)$ ; c) $h(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ ; d) $k(x)=\sqrt{5-2x}$ ; e) $\ell(x)=\dfrac{1}{x^2+3}$ .

Corrigé

a) Dérivable sur $\mathbb R$ . ⇝ $f'(x)=12x^2-10x+1$ .

b) Dérivable sur $\mathbb R$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ : $g'(x)=3(x^2+2)+(3x-1)\times2x$ . ⇝ $g'(x)=9x^2-2x+6$ .

c) Dérivable sur $\mathbb R\setminus\{3\}$ : $h'(x)=\dfrac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}$ . ⇝ $h'(x)=\dfrac{-7}{(x-3)^2}$ .

d) $k(x)=\sqrt{-2x+5}$ est dérivable lorsque $5-2x>0$ , soit sur $\left]-\infty\,;\frac52\right[$ ; composée affine : $k'(x)=-2\times\dfrac{1}{2\sqrt{5-2x}}$ . ⇝ $k'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}$ .

e) $x^2+3>0$ , donc $\ell$ est dérivable sur $\mathbb R$ ; avec $\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ : ⇝ $\ell'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+3)^2}$ .

Barème : pour chaque fonction, 0,25 pt pour l’ensemble de dérivabilité et 0,75 pt pour la dérivée.

Exercice 4 · Tangentes à une parabole 5 points

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2-4x+3$ , et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse $3$ . (1,5 pt)

2. Déterminer le point de $\mathcal C_f$ en lequel la tangente est parallèle à la droite d’équation $y=-2x+1$ . (1 pt)

3. Soit $t$ un réel. a) Montrer que la tangente $T_t$ à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse $t$ a pour équation $y=(2t-4)x-t^2+3$ . (1 pt) b) En déduire les équations des tangentes à $\mathcal C_f$ qui passent par le point $A(2\,;-5)$ . (1,5 pt)

Corrigé

On a $f'(x)=2x-4$ .

1. $f(3)=9-12+3=0$ et $f'(3)=2$ : $y=2(x-3)+0$ . ⇝ $T :\ y=2x-6$ .

2. Parallèle à $y=-2x+1\iff f'(x)=-2\iff2x-4=-2\iff x=1$ ; $f(1)=0$ . ⇝ Le point $(1\,;0)$ .

3. a) $T_t :\ y=f'(t)(x-t)+f(t)$ , soit $y=(2t-4)(x-t)+t^2-4t+3$ , d’où $y=(2t-4)x-2t^2+4t+t^2-4t+3$ , c’est-à-dire ⇝ $y=(2t-4)x-t^2+3$ .

3. b) $A\in T_t$ équivaut à $-5=2(2t-4)-t^2+3$ , soit $-t^2+4t=0$ , c’est-à-dire $t(4-t)=0$ : donc $t=0$ ou $t=4$ . ⇝ $T_0 :\ y=-4x+3$ et $T_4 :\ y=4x-13$ . Vérification : $-4\times2+3=-5$ et $4\times2-13=-5$ .