Fiche DS Première : second degré, dérivation + corrigé

Introduction :

Vous préparez le devoir surveillé de Première spécialité ? Cette fiche d’entraînement avec corrigé détaillé propose 12 exercices de difficulté croissante qui couvrent l’ensemble du programme du DS : second degré, dérivation et variations d’une fonction.

Vous y travaillerez la forme canonique, les racines et le signe d’un trinôme, les équations et inéquations du second degré, les calculs de dérivées, les tangentes à une parabole, une équation à paramètre (somme et produit des racines), les tableaux de variations de polynômes de degré 3, la recherche d’extremums, la démonstration d’inégalités par une étude de fonction et l’encadrement d’une fonction rationnelle.

Les exercices 11 et 12 sont des problèmes d’optimisation : maximiser le bénéfice d’une entreprise et trouver la boîte qui utilise le moins de carton. Chaque exercice est coté de ★ (application directe) à ★★★ (niveau DS +), et le corrigé, placé à la suite de l’énoncé dans le même PDF, détaille toutes les étapes.

Notre conseil : traitez les exercices dans l’ordre, dans les conditions d’un devoir, avant de consulter le corrigé. Pour revoir les notions, retrouvez le cours sur le trinôme du second degré, le cours sur la dérivation et le cours sur les variations et les courbes représentatives.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode.

Avant de commencer

Fiche d’entraînement pour le DS du lundi 16 novembre 2026 (Première spécialité) : second degré, dérivation, variations et extremums. Douze exercices de difficulté croissante : ★ application directe, ★★ classique, ★★★ niveau DS + ; les exercices 11 et 12 portent sur l’optimisation.

Exercice 1 · Trinômes : forme canonique, racines, signe ★★★

Pour chacun des trinômes suivants, déterminer la forme canonique, les racines et la forme factorisée, puis dresser le tableau de signe : a) $f(x)=3x^2-12x+9$ ; b) $g(x)=-2x^2+3x+2$ .

Corrigé

⇝ a) $f(x)=3\left(x^2-4x\right)+9=3(x-2)^2-3$ . $\Delta=144-108=36$ : racines $1$ et $3$ , $f(x)=3(x-1)(x-3)$ . $a=3>0$ : $f>0$ sur $]-\infty\,;1[\cup]3\,;+\infty[$ , $f<0$ sur $]1\,;3[$ .

⇝ b) $g(x)=-2\left(x-\frac34\right)^2+\frac{25}8$ . $\Delta=9+16=25$ : racines $-\frac12$ et $2$ , $g(x)=-2\left(x+\frac12\right)(x-2)=-(2x+1)(x-2)$ . $a<0$ : $g>0$ sur $\left]-\frac12\,;2\right[$ , $g<0$ à l’extérieur.

Exercice 2 · Équations et inéquations ★★★

Résoudre dans $\mathbb R$ : a) $x^2+2x-15=0$ ; b) $-x^2+6x-9\geqslant0$ ; c) $(2x-1)(x+3)>x^2-1$ ; d) $x^4-10x^2+9=0$ .

Corrigé

⇝ a) $(x+5)(x-3)=0$ : $S=\{-5\,;3\}$ . b) $-(x-3)^2\geqslant0$ : $S=\{3\}$ . c) $2x^2+5x-3>x^2-1\iff x^2+5x-2>0$ , $\Delta=33$ : $S=\left]-\infty\,;\frac{-5-\sqrt{33}}2\right[\cup\left]\frac{-5+\sqrt{33}}2\,;+\infty\right[$ . d) Avec $X=x^2$ : $(X-1)(X-9)=0$ , $S=\{-3\,;-1\,;1\,;3\}$ .

Exercice 3 · Calculs de dérivées ★★★

Préciser l’ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée de : a) $(x^2+1)(3x-2)$ ; b) $\frac{x-1}{x^2+1}$ ; c) $\sqrt{2x+6}$ ; d) $(5-3x)^4$ ; e) $x-\frac4x$ .

Corrigé

⇝ a) Sur $\mathbb R$ : $2x(3x-2)+3(x^2+1)=9x^2-4x+3$ . b) Sur $\mathbb R$ : $\frac{(x^2+1)-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$ . c) Sur $]-3\,;+\infty[$ : $\frac2{2\sqrt{2x+6}}=\frac1{\sqrt{2x+6}}$ . d) Sur $\mathbb R$ : $-12(5-3x)^3$ . e) Sur $\mathbb R^*$ : $1+\frac4{x^2}$ .

Exercice 4 · Parabole, tangentes et droite ★★★

Soit $f(x)=x^2-2x+3$ sur $\mathbb R$ , de parabole $\mathcal P$ , et la droite $\mathcal D : y=2x-1$ . 1) Étudier la position relative de $\mathcal P$ et $\mathcal D$ . Montrer que $\mathcal D$ est la tangente à $\mathcal P$ en un point $A$ à préciser. 2) Déterminer l’équation de la tangente $\mathcal T$ à $\mathcal P$ au point d’abscisse 0, puis les coordonnées du point d’intersection de $\mathcal T$ et $\mathcal D$ .

Corrigé

⇝ 1) $f(x)-(2x-1)=(x-2)^2\geqslant0$ : $\mathcal P$ est au-dessus de $\mathcal D$ , avec un seul point commun $A(2\,;3)$ . Comme $f'(2)=2$ , la tangente en $A$ est $y=2(x-2)+3=2x-1$ : c’est $\mathcal D$ . 2) $f(0)=3$ , $f'(0)=-2$ : $\mathcal T : y=-2x+3$ . $-2x+3=2x-1\iff x=1$ : $\mathcal T\cap\mathcal D=\{(1\,;1)\}$ .

Exercice 5 · Équation à paramètre ★★★

Pour tout réel $m$ , on considère $(E_m) : mx^2+(2m+1)x+m=0$ . 1) Résoudre $(E_0)$ . Pour $m\neq0$ , montrer que le discriminant vaut $4m+1$ . 2) Selon $m$ , déterminer le nombre de solutions de $(E_m)$ . 3) Déterminer les $m$ pour lesquels $(E_m)$ admet deux solutions distinctes strictement négatives (utiliser la somme et le produit des racines). Vérifier avec $m=2$ .

Corrigé

⇝ 1) $(E_0) : x=0$ . $\Delta=(2m+1)^2-4m^2=4m+1$ . 2) $m=0$ : une solution ; si $m\neq0$ : aucune pour $m<-\frac14$ , une (double) pour $m=-\frac14$ , deux pour $m>-\frac14$ . 3) Il faut $m>-\frac14$ , $m\neq0$ , produit $P=\frac mm=1>0$ (racines de même signe) et somme $S=-\frac{2m+1}m<0$ , soit $m>0$ ou $m<-\frac12$ . Conclusion : $m>0$ . Pour $m=2$ : $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$ , racines $-\frac12$ et $-2$ .

Exercice 6 · Variations d’un polynôme de degré 3 ★★★

Soit $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$ sur $[-2\,;4]$ . 1) Calculer $f'(x)$ , le factoriser et dresser le tableau de variations. 2) Préciser les extremums locaux, puis le maximum et le minimum de $f$ sur $[-2\,;4]$ . 3) Comparer, sans calcul, $f(0)$ et $f(1)$ . Justifier que pour tout $x\in[-1\,;2]$ : $-15\leqslant f(x)\leqslant12$ .

Corrigé

⇝ 1) $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$ : $f$ croît sur $[-2\,;-1]$ , décroît sur $[-1\,;2]$ , croît sur $[2\,;4]$ ; $f(-2)=1$ , $f(-1)=12$ , $f(2)=-15$ , $f(4)=37$ . 2) Maximum local $12$ en $-1$ , minimum local $-15$ en $2$ ; sur $[-2\,;4]$ : maximum $37$ (en 4), minimum $-15$ (en 2). 3) $f$ est décroissante sur $[-1\,;2]$ : $f(0)>f(1)$ , et $f(2)\leqslant f(x)\leqslant f(-1)$ .

Exercice 7 · Une fonction avec racine carrée ★★★

Soit $f(x)=x\sqrt{4-x}$ sur $[0\,;4]$ . 1) Justifier que $f$ est dérivable sur $[0\,;4[$ et montrer que $f'(x)=\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}$ . 2) Dresser le tableau de variations de $f$ et déterminer la valeur exacte de son maximum.

Corrigé

⇝ 1) $x\mapsto\sqrt{4-x}$ est dérivable là où $4-x>0$ . $f'(x)=\sqrt{4-x}-\frac x{2\sqrt{4-x}}=\frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}=\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}$ . 2) $f$ croît sur $\left[0\,;\frac83\right]$ , décroît sur $\left[\frac83\,;4\right]$ ; $f(0)=f(4)=0$ ; maximum $f\left(\frac83\right)=\frac83\times\frac2{\sqrt3}=\frac{16\sqrt3}9\approx3{,}08$ .

Exercice 8 · Extremum imposé ★★★

Soit $f(x)=x^3+px+q$ sur $\mathbb R$ . 1) Montrer que si $p\geqslant0$ , $f$ est croissante et n’admet aucun extremum local. 2) Déterminer $p$ et $q$ pour que $f$ admette un maximum local en $-1$ , égal à 4. 3) Avec ces valeurs, dresser le tableau de variations et préciser le minimum local. Vérifier que $f(x)=(x-1)^2(x+2)$ .

Corrigé

⇝ 1) $f'(x)=3x^2+p\geqslant0$ (nul au plus en 0) : $f$ est croissante. 2) $f'(-1)=3+p=0$ donne $p=-3$ ; $f(-1)=-1+3+q=4$ donne $q=2$ . 3) $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ : $f$ croît sur $]-\infty\,;-1]$ , décroît sur $[-1\,;1]$ , croît sur $[1\,;+\infty[$ ; maximum local $4$ , minimum local $f(1)=0$ . $(x-1)^2(x+2)=x^3-3x+2$ .

Exercice 9 · Démontrer une inégalité ★★★

1) Soit $g(x)=x^3-12x+16$ sur $[0\,;+\infty[$ . Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout $x\geqslant0$ : $x^3+16\geqslant12x$ . 2) Retrouver ce résultat en vérifiant que $g(x)=(x-2)^2(x+4)$ . L’inégalité reste-t-elle vraie pour $x\in[-4\,;0]$ ?

Corrigé

⇝ 1) $g'(x)=3(x-2)(x+2)$ : $g$ décroît sur $[0\,;2]$ , croît sur $[2\,;+\infty[$ , minimum $g(2)=0$ . Donc $g\geqslant0$ . 2) $(x-2)^2(x+4)=x^3-12x+16$ , positif dès que $x\geqslant-4$ : l’inégalité est vraie sur $[-4\,;0]$ aussi.

Exercice 10 · Encadrer une fonction rationnelle ★★★

Soit $f(x)=\frac{2x^2+x+2}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ . 1) Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ et montrer que $f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$ . 2) Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums locaux. 3) Montrer que $f(x)-\frac52=-\frac{(x-1)^2}{2(x^2+1)}$ et $f(x)-\frac32=\frac{(x+1)^2}{2(x^2+1)}$ . En déduire que pour tout réel $x$ : $\frac32\leqslant f(x)\leqslant\frac52$ . Les extremums locaux sont-ils des extremums sur $\mathbb R$ ?

Corrigé

⇝ 1) $x^2+1>0$ . $f(x)=2+\frac x{x^2+1}$ , donc $f'(x)=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ . 2) $f$ décroît sur $]-\infty\,;-1]$ , croît sur $[-1\,;1]$ , décroît sur $[1\,;+\infty[$ : minimum local $f(-1)=\frac32$ , maximum local $f(1)=\frac52$ . 3) Calcul direct en réduisant au même dénominateur ; les deux différences sont respectivement négative et positive. Oui : $\frac32$ et $\frac52$ sont le minimum et le maximum de $f$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 11 · Optimisation : maximiser un bénéfice ★★★

Une entreprise fabrique chaque jour $q$ centaines d’objets, $q\in[0\,;10]$ . Le coût total, en milliers d’euros, est $C(q)=q^3-12q^2+51q+10$ . Chaque centaine d’objets est vendue 30 milliers d’euros. 1) Montrer que $C$ est croissante sur $[0\,;10]$ ; interpréter. 2) Montrer que le bénéfice est $B(q)=-q^3+12q^2-21q-10$ , puis que $B'(q)=-3(q-1)(q-7)$ . 3) Dresser le tableau de variations de $B$ . Combien d’objets fabriquer pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?

Corrigé

⇝ 1) $C'(q)=3\left(q^2-8q+17\right)$ , de discriminant $-4<0$ : $C'>0$ , le coût augmente avec la production. 2) $B(q)=30q-C(q)=-q^3+12q^2-21q-10$ et $B'(q)=-3q^2+24q-21=-3(q-1)(q-7)$ . 3) $B$ décroît sur $[0\,;1]$ , croît sur $[1\,;7]$ , décroît sur $[7\,;10]$ ; $B(0)=-10$ , $B(1)=-20$ , $B(7)=88$ , $B(10)=-20$ . Bénéfice maximal pour 700 objets : 88 milliers d’euros.

Exercice 12 · Optimisation : la boîte la plus économique ★★★

On veut fabriquer une boîte sans couvercle, de base carrée de côté $x$ dm ( $x>0$ ) et de hauteur $h$ dm, de volume $32$ dm³. 1) Exprimer $h$ en fonction de $x$ , puis montrer que l’aire de carton est $S(x)=x^2+\frac{128}x$ . 2) Montrer que $S'(x)=\frac{2\left(x^3-64\right)}{x^2}$ , puis que $x^3-64=(x-4)\left(x^2+4x+16\right)$ ; étudier le signe de $x^2+4x+16$ . 3) Dresser le tableau de variations de $S$ ; en déduire les dimensions de la boîte qui utilise le moins de carton et l’aire minimale.

Corrigé

⇝ 1) $x^2h=32$ , $h=\frac{32}{x^2}$ ; $S=x^2+4xh=x^2+\frac{128}x$ . 2) $S'(x)=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2\left(x^3-64\right)}{x^2}$ ; $x^2+4x+16$ a pour discriminant $-48<0$ , il est toujours positif. 3) $S$ décroît sur $]0\,;4]$ , croît sur $[4\,;+\infty[$ : boîte de base $4\times4$ dm et de hauteur $2$ dm, aire minimale $S(4)=48$ dm².