Exercices variations d'une fonction Première

Introduction :

Vous travaillez le chapitre variations et courbes représentatives en Première ? Cette fiche d’exercices n°5 rassemble 12 exercices progressifs pour apprendre à utiliser la dérivée dans l’étude d’une fonction.

Vous y travaillerez le tableau de variations, la recherche d’extremums locaux et de tangentes horizontales, la démonstration d’inégalités par une étude de fonction et la position relative de deux courbes. Plusieurs exercices sont des problèmes d’optimisation : aire maximale d’un rectangle, coût moyen et bénéfice d’une entreprise, longueur minimale d’un segment.

Les exercices 10 à 12 sont extraits de sujets officiels : deux sujets E3C de la banque nationale et l’épreuve anticipée de mathématiques 2026 (Centres étrangers). Chaque exercice est coté ★★ (bon niveau) ou ★★★ (exigeant) pour vous aider à vous situer.

Notre conseil : revoyez d’abord le cours sur les variations et les courbes représentatives, puis traitez les exercices dans l’ordre. Gardez les sujets officiels pour la fin et faites-les en temps limité, comme le jour de l’épreuve.

Pour aller plus loin : retrouvez aussi la fiche Variations et extremums – 12 exercices corrigés, avec un corrigé détaillé.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir le corrigé : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Corrigé » sous l’exercice pour vérifier votre méthode.

Avant de commencer

Fiche d’exercices n°5 de Première spécialité (octobre 2026) : variations et courbes représentatives. Difficulté : ★★ bon niveau, ★★★ exigeant. Les exercices 10 à 12 sont des extraits de sujets officiels (E3C et épreuve anticipée de Première).

Exercice 1 · Extremums d’un polynôme ★★★

Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ sur $\mathbb R$ . 1) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)=3(x+1)(x-3)$ . 2) Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums locaux. 3) Déterminer les points de $\mathcal C_f$ en lesquels la tangente est horizontale.

Corrigé

⇝ 1) $f'(x)=3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x+1)(x-3)$ . 2) $f$ croît sur $]-\infty\,;-1]$ , décroît sur $[-1\,;3]$ , croît sur $[3\,;+\infty[$ : maximum local $f(-1)=10$ , minimum local $f(3)=-22$ . 3) Tangente horizontale là où $f'=0$ : aux points $(-1\,;10)$ et $(3\,;-22)$ .

Exercice 2 · Une inégalité par l’étude de variations ★★★

Soit $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$ . 1) Montrer que $f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$ . 2) Étudier les variations de $f$ . En déduire que pour tout $x>1$ : $x^2+3\geqslant6(x-1)$ .

Corrigé

⇝ 1) $f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$ . 2) $f$ décroît sur $]1\,;3]$ , croît sur $[3\,;+\infty[$ : minimum $f(3)=6$ . Donc $\frac{x^2+3}{x-1}\geqslant6$ , et comme $x-1>0$ : $x^2+3\geqslant6(x-1)$ .

Exercice 3 · Fonction avec racine carrée ★★★

Soit $f(x)=(x-3)\sqrt x$ sur $[0\,;+\infty[$ . 1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et montrer que $f'(x)=\frac{3(x-1)}{2\sqrt x}$ . 2) Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser son minimum.

Corrigé

⇝ 1) $\sqrt{\ }$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ : $f'(x)=\sqrt x+\frac{x-3}{2\sqrt x}=\frac{2x+x-3}{2\sqrt x}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt x}$ . 2) $f$ décroît sur $[0\,;1]$ (de $0$ à $-2$ ), croît sur $[1\,;+\infty[$ : minimum $f(1)=-2$ .

Exercice 4 · Paramètres et extremum ★★★

Soit $f(x)=x^3+ax^2+b$ sur $\mathbb R$ . 1) Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ admette en 2 un extremum local égal à $-3$ . 2) Avec ces valeurs, vérifier que $f'$ change de signe en 2 et préciser la nature de l’extremum.

Corrigé

⇝ 1) $f'(x)=3x^2+2ax$ : $f'(2)=12+4a=0$ donne $a=-3$ ; $f(2)=8-12+b=-3$ donne $b=1$ . 2) $f'(x)=3x(x-2)$ est négatif sur $]0\,;2[$ et positif sur $]2\,;+\infty[$ : $f$ admet en 2 un minimum local égal à $-3$ .

Exercice 5 · Démontrer une inégalité ★★★

1) Étudier les variations de $g(x)=x^3-3x+2$ sur $[0\,;+\infty[$ . 2) En déduire que pour tout $x\geqslant0$ : $x^3+2\geqslant3x$ . Dans quel cas a-t-on l’égalité ?

Corrigé

⇝ 1) $g'(x)=3(x-1)(x+1)$ : $g$ décroît sur $[0\,;1]$ , croît sur $[1\,;+\infty[$ , minimum $g(1)=0$ . 2) Donc $g(x)\geqslant0$ , soit $x^3+2\geqslant3x$ , avec égalité si et seulement si $x=1$ .

Exercice 6 · Position relative de deux courbes ★★★

On considère $f(x)=x^3$ et $g(x)=x^2+x-1$ sur $\mathbb R$ , de courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ . On pose $d(x)=f(x)-g(x)$ . 1) Étudier les variations de $d$ et calculer $d(-1)$ et $d(1)$ . 2) En déduire le signe de $d(x)$ , puis la position relative de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ .

Corrigé

⇝ 1) $d(x)=x^3-x^2-x+1$ , $d'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$ : $d$ croît sur $\left]-\infty\,;-\frac13\right]$ , décroît sur $\left[-\frac13\,;1\right]$ , croît sur $[1\,;+\infty[$ ; $d(-1)=0$ , $d(1)=0$ . 2) $d<0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $d\geqslant0$ sur $[-1\,;+\infty[$ (nul en $-1$ et en $1$ ; en effet $d(x)=(x-1)^2(x+1)$ ). $\mathcal C_f$ est sous $\mathcal C_g$ pour $x<-1$ , au-dessus pour $x>-1$ , avec un point de contact (tangence) en $x=1$ .

Exercice 7 · Rectangle inscrit sous une parabole ★★★

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $\mathcal P : y=9-x^2$ . Pour $x\in[0\,;3]$ , on note $M(x\,;0)$ , $N(-x\,;0)$ et $P$ , $Q$ les points de $\mathcal P$ d’abscisses respectives $x$ et $-x$ . 1) Montrer que l’aire du rectangle $MPQN$ est $\mathcal A(x)=18x-2x^3$ . 2) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle cette aire est maximale, ainsi que l’aire maximale.

Corrigé

⇝ 1) Largeur $MN=2x$ , hauteur $MP=9-x^2$ : $\mathcal A(x)=2x\left(9-x^2\right)=18x-2x^3$ . 2) $\mathcal A'(x)=18-6x^2=6\left(3-x^2\right)$ : $\mathcal A$ croît sur $\left[0\,;\sqrt3\right]$ , décroît sur $\left[\sqrt3\,;3\right]$ . Aire maximale $\mathcal A\left(\sqrt3\right)=18\sqrt3-6\sqrt3=12\sqrt3$ .

Exercice 8 · Coût moyen et bénéfice ★★★

Une entreprise fabrique $x$ centaines d’objets par jour, $x\in[0\,;10]$ . Le coût total, en centaines d’euros, est $C(x)=x^3-12x^2+60x$ , et chaque centaine d’objets est vendue 36 centaines d’euros. 1) Le coût moyen est $C_M(x)=\frac{C(x)}x$ pour $x\in\,]0\,;10]$ . Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ? 2) Montrer que le bénéfice est $B(x)=-x^3+12x^2-24x$ , étudier ses variations et déterminer la production qui rend le bénéfice maximal. Donner la valeur exacte de ce bénéfice.

Corrigé

⇝ 1) $C_M(x)=x^2-12x+60=(x-6)^2+24$ : minimal pour $x=6$ (600 objets), où il vaut 24 centaines d’euros par centaine d’objets. 2) $B(x)=36x-C(x)=-x^3+12x^2-24x$ ; $B'(x)=-3\left(x^2-8x+8\right)$ , de racines $4\pm2\sqrt2$ . $B$ décroît sur $\left[0\,;4-2\sqrt2\right]$ , croît sur $\left[4-2\sqrt2\,;4+2\sqrt2\right]$ , décroît ensuite ; $B(0)=0$ et $B(10)=-40$ . Maximum pour $x=4+2\sqrt2\approx6{,}83$ (environ 683 objets) : $B\left(4+2\sqrt2\right)=32+32\sqrt2\approx77{,}25$ centaines d’euros.

Exercice 9 · Tangentes à l’hyperbole ★★★

Soit $f(x)=\frac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ et $a>0$ . On note $T_a$ la tangente à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse $a$ . 1) Montrer que $T_a : y=-\frac1{a^2}x+\frac2a$ , puis qu’elle coupe les axes en $A(2a\,;0)$ et $B\left(0\,;\frac2a\right)$ . 2) Montrer que l’aire du triangle $OAB$ ne dépend pas de $a$ . 3) Exprimer $AB^2$ en fonction de $a$ , puis déterminer $a$ pour que la longueur $AB$ soit minimale.

Corrigé

⇝ 1) $T_a : y=-\frac1{a^2}(x-a)+\frac1a=-\frac x{a^2}+\frac2a$ ; $y=0$ pour $x=2a$ , et $x=0$ donne $y=\frac2a$ . 2) Aire $=\frac12\times2a\times\frac2a=2$ . 3) $AB^2=4a^2+\frac4{a^2}$ ; $\varphi(a)=4a^2+\frac4{a^2}$ a pour dérivée $8a-\frac8{a^3}=\frac{8\left(a^4-1\right)}{a^3}$ : minimum en $a=1$ , où $AB=\sqrt8=2\sqrt2$ .

Exercice 10 · E3C – banque nationale, sujet n°13, exercice 4 ★★★

1) Étudier le signe de $P(x)=x^2+4x+3$ sur $\mathbb R$ . 2) Soit $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x+2}$ sur $]-2\,;+\infty[$ . Montrer que $f'(x)=\frac{P(x)}{(x+2)^2}$ . 3) Dresser le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variations de $f$ . 4) En déduire que $f$ admet un minimum ; préciser sa valeur et où il est atteint. 5) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d’abscisse 2.

Corrigé

⇝ 1) $P(x)=(x+1)(x+3)$ : positif sur $]-\infty\,;-3[\cup]-1\,;+\infty[$ , négatif sur $]-3\,;-1[$ . 2) $f'(x)=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x-1)}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$ . 3) Sur $]-2\,;+\infty[$ : $f'<0$ sur $]-2\,;-1[$ , $f'>0$ sur $]-1\,;+\infty[$ . 4) Minimum $f(-1)=-1$ , atteint en $-1$ . 5) $f'(2)=\frac{15}{16}$ .

Exercice 11 · E3C – sujet G1SSMAT02606, exercice 2 ★★★

Un industriel découpe dans une plaque de métal rectangulaire de 18 cm sur 24 cm quatre carrés de côté $x$ cm aux quatre coins, puis replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de volume $\mathcal V(x)$ pour $x\in[0\,;9]$ . 1) Montrer que $\mathcal V(x)=4x^3-84x^2+432x$ . 2) Donner l’expression de $\mathcal V'(x)$ . 3) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de $\mathcal V$ . 4) Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance est-elle maximale ? 5) L’industriel peut-il construire une telle boîte de contenance supérieure ou égale à 650 cm³ ?

Corrigé

⇝ 1) $\mathcal V(x)=x(24-2x)(18-2x)=4x^3-84x^2+432x$ . 2) $\mathcal V'(x)=12x^2-168x+432=12\left(x^2-14x+36\right)$ . 3) Racines $7\pm\sqrt{13}$ ; seule $7-\sqrt{13}\approx3{,}39$ est dans $[0\,;9]$ : $\mathcal V$ croît sur $\left[0\,;7-\sqrt{13}\right]$ , décroît sur $\left[7-\sqrt{13}\,;9\right]$ . 4) Pour $x=7-\sqrt{13}$ : $\mathcal V_{\max}=280+104\sqrt{13}\approx654{,}98$ cm³. 5) Oui, car $654{,}98\geqslant650$ .

Exercice 12 · Épreuve anticipée 2026, centres étrangers, exercice 3 ★★★

Soit $f$ définie et dérivable sur $]0\,;+\infty[$ . La droite $T_A$ est tangente à $\mathcal C_f$ au point $A(1\,;20)$ et passe par $B(3\,;10)$ . 1) a) Donner $f(1)$ . b) Déterminer $f'(1)$ . c) Justifier que $T_A : y=-5x+25$ . Pour la suite, $f(x)=\frac{4x^2+7x+9}x$ . 2) a) Démontrer que $f'(x)=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$ . b) Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ . 3) Existe-t-il une tangente à $\mathcal C_f$ parallèle à la droite $y=3x+5$ ?

Corrigé

⇝ 1) a) $f(1)=20$ . b) $f'(1)$ est la pente de $(AB)$ : $\frac{10-20}{3-1}=-5$ . c) $y=-5(x-1)+20=-5x+25$ . 2) a) $f(x)=4x+7+\frac9x$ , $f'(x)=4-\frac9{x^2}=\frac{4x^2-9}{x^2}$ . b) Sur $]0\,;+\infty[$ , $2x+3>0$ : $f$ décroît sur $\left]0\,;\frac32\right]$ , croît sur $\left[\frac32\,;+\infty\right[$ (minimum $f\left(\frac32\right)=19$ ). 3) $f'(x)=3\iff x^2=9\iff x=3$ : oui, au point $(3\,;22)$ , la tangente $y=3x+13$ .