Variations et extremums Première : 12 exercices corrigés

Introduction :

Vous voulez maîtriser l’étude des variations d’une fonction en Première ? Cette fiche Variations et extremums propose 12 exercices de difficulté croissante, accompagnés d’un corrigé détaillé placé à la suite de l’énoncé dans le même PDF.

On commence par des applications directes (fonctions du second degré et polynômes de degré 3, lecture du signe de la dérivée), puis viennent les fonctions rationnelles, une fonction avec racine carrée, la recherche d’une fonction à partir d’un extremum et la démonstration d’inégalités par une étude de fonction. L’exercice 9 revient sur un piège classique : une dérivée nulle ne suffit pas à garantir un extremum.

Les exercices 10 à 12 sont des problèmes d’optimisation : boîte de volume maximal, rectangle d’aire maximale sous une parabole et distance minimale d’un point à une courbe. Chaque exercice est coté de ★ (application directe) à ★★★ (exigeant).

Notre conseil : revoyez d’abord le cours sur les variations et les courbes représentatives, cherchez chaque exercice avant de lire le corrigé, puis poursuivez avec la fiche d’exercices n°5 (avec des extraits de sujets officiels) et la fiche d’entraînement au DS.

Mission Maths 360 – Comprendre, s’entraîner et progresser en mathématiques.

Mode d’emploi

Cherchez chaque exercice sur une feuille avant d’ouvrir la correction : c’est en cherchant qu’on progresse. Cliquez ensuite sur « Voir la correction » sous l’exercice pour vérifier votre méthode et vos résultats.

Difficulté : ★★★ application directe · ★★★ classique · ★★★ exigeant.

La méthode à retenir

Calculer $f'(x)$ , le factoriser, étudier son signe. Si $f'>0$ sur un intervalle, $f$ y est strictement croissante ; si $f'<0$ , strictement décroissante. $f$ admet un extremum local en $a$ lorsque $f'$ s’annule en changeant de signe en $a$ .

Exercice 1 · Fonctions du second degré ★★★

Pour a) $f(x)=2x^2-8x+3$ et b) $g(x)=-x^2+5x-4$ sur $\mathbb{R}$ : calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations et préciser l’extremum. Retrouver ce résultat à l’aide de la forme canonique.

Corrigé

a) $f'(x)=4x-8=4(x-2)$ , négatif sur $]-\infty\,;2[$ , positif sur $]2\,;+\infty[$ . $f(2)=8-16+3=-5$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	$-5$	$\nearrow$

⇝ minimum $-5$ atteint en $x=2$ .

Forme canonique : $f(x)=2(x^2-4x)+3=2(x-2)^2-5$ ; comme $2(x-2)^2\geqslant0$ , on a bien $f(x)\geqslant-5$ , avec égalité en $2$ .

b) $g'(x)=-2x+5$ , positif sur $\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[$ , négatif sur $\left]\frac{5}{2}\,;+\infty\right[$ : $g$ croît puis décroît. $g\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-4=\frac{9}{4}$ .

⇝ maximum $\frac{9}{4}$ en $x=\frac{5}{2}$ .

Forme canonique : $g(x)=-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\leqslant\frac{9}{4}$ .

Exercice 2 · Fonctions polynômes de degré 3 ★★★

Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$ sur $\mathbb{R}$ . Factoriser $f'(x)$ , dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux.
Soit $g(x)=-2x^3+3x^2+12x-1$ sur $[-2\,;3]$ . Dresser le tableau de variations de $g$ , puis déterminer le maximum et le minimum de $g$ sur $[-2\,;3]$ .

Corrigé

1. $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$ (racines $-1$ et $3$ , coefficient $3>0$ ). $f(-1)=7$ , $f(3)=-25$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$	$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$

⇝ maximum local $7$ en $-1$ , minimum local $-25$ en $3$ .

2. $g'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x^2-x-2)=-6(x+1)(x-2)$ : négatif hors de $[-1\,;2]$ , positif sur $]-1\,;2[$ . $g(-2)=3$ , $g(-1)=-8$ , $g(2)=19$ , $g(3)=8$ .

$x$	$-2$		$-1$		$2$		$3$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g$	$3$	$\searrow$	$-8$	$\nearrow$	$19$	$\searrow$	$8$

En comparant les extremums locaux et les valeurs aux bornes :

⇝ sur $[-2\,;3]$ : maximum $19$ (en $2$ ), minimum $-8$ (en $-1$ ).

Exercice 3 · Exploiter le signe de la dérivée ★★★

Une fonction $f$ est dérivable sur $[-4\,;5]$ . On donne le signe de $f'(x)$ ci-dessous, ainsi que : $f(-4)=2$ , $f(-1)=5$ , $f(2)=-3$ et $f(5)=1$ .

$x$	$-4$		$-1$		$2$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums locaux.
Comparer, en justifiant, $f(0)$ et $f(1)$ , puis $f(3)$ et $f(4)$ . Peut-on comparer $f(-3)$ et $f(3)$ ?
Quel est le maximum de $f$ sur $[-4\,;5]$ ? Combien de fois $f$ prend-elle la valeur $-3$ ?

Corrigé

1. $f$ est strictement croissante sur $[-4\,;-1]$ et sur $[2\,;5]$ , strictement décroissante sur $[-1\,;2]$ :

$x$	$-4$		$-1$		$2$		$5$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$2$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$1$

⇝ maximum local $5$ en $-1$ , minimum local $-3$ en $2$ .

2. $0$ et $1$ sont dans $[-1\,;2]$ où $f$ est décroissante, et $0<1$ : $f(0)>f(1)$ . $3$ et $4$ sont dans $[2\,;5]$ où $f$ est croissante, et $3<4$ : $f(3)< f(4)$ .

$-3$ et $3$ ne sont pas dans un même intervalle de monotonie, mais : sur $[-4\,;-1]$ , $f$ croît de $2$ à $5$ , donc $f(-3)>f(-4)=2$ ; sur $[2\,;5]$ , $f$ croît de $-3$ à $1$ , donc $f(3)< f(5)=1$ . Ainsi :

⇝ $f(-3)>2>1>f(3)$ .

3. Sur chaque intervalle, $f(x)\leqslant5$ (atteint en $-1$ ) : le maximum de $f$ sur $[-4\,;5]$ est $5$ . Sur $[-4\,;-1]$ , $f(x)\geqslant2>-3$ ; sur $[-1\,;2[$ et sur $]2\,;5]$ , $f(x)>f(2)=-3$ par stricte monotonie.

⇝ $f$ prend la valeur $-3$ une seule fois, en $x=2$ .

Exercice 4 · Fonctions rationnelles ★★★

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ . Étudier le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\,;-3[$ et sur $]-3\,;+\infty[$ .
Soit $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ . Dresser le tableau de variations de $g$ et préciser ses extremums locaux. Que remarque-t-on en comparant le maximum local et le minimum local ? Est-ce contradictoire ?

Corrigé

1. $f'(x)=\dfrac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}=\dfrac{7}{(x+3)^2}>0$ pour tout $x\neq-3$ :

⇝ $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-3[$ et sur $]-3\,;+\infty[$ .

Attention : on ne peut pas dire « croissante sur $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ » (par exemple $f(-4)=9>f(0)=-\frac{1}{3}$ ).

2. $g'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ , du signe de $(x-1)(x+1)$ . $g(-1)=-2$ , $g(1)=2$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	\|\|	$-$	$0$	$+$
$g$		$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	\|\|	$\searrow$	$2$	$\nearrow$

⇝ maximum local $-2$ en $-1$ , minimum local $2$ en $1$ .

Le maximum local est plus petit que le minimum local. Ce n’est pas contradictoire : un extremum local ne compare $g(a)$ qu’aux valeurs proches de $a$ , et ici les deux extremums sont sur deux intervalles séparés par la valeur interdite $0$ .

Exercice 5 · Quotient et extremums locaux ★★★

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ .

Montrer que, pour tout $x\neq1$ , $f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums locaux.
Déterminer l’équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $3$ . Interpréter graphiquement.

Corrigé

1. $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$ , et $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ (racines $-1$ et $3$ ).

2. $(x-1)^2>0$ : $f'(x)$ est du signe de $(x+1)(x-3)$ . $f(-1)=\frac{4}{-2}=-2$ , $f(3)=\frac{12}{2}=6$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	\|\|	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	\|\|	$\searrow$	$6$	$\nearrow$

⇝ maximum local $-2$ en $-1$ , minimum local $6$ en $3$ .

3. $f(3)=6$ et $f'(3)=0$ : la tangente a pour équation $y=6$ . Elle est horizontale : c’est le cas en tout point où $f$ admet un extremum local (ici en $x=3$ ).

Exercice 6 · Une fonction avec racine carrée ★★★

Soit $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$ .

Justifier que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ . En déduire que, pour tout $x\geqslant0$ , $f(x)\geqslant-2$ .

Corrigé

1. $u(x)=x-3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v(x)=\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ : par produit, $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et

$f'(x)=1\times\sqrt{x}+(x-3)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}.$

2. $2\sqrt{x}>0$ : $f'(x)$ est du signe de $x-1$ . $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$	$0$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$

⇝ $f$ admet en $1$ un minimum sur $[0\,;+\infty[$ , égal à $-2$ : pour tout $x\geqslant0$ , $f(x)\geqslant-2$ .

Exercice 7 · Retrouver une fonction à partir d’un extremum ★★★

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+ax^2+b$ , où $a$ et $b$ sont deux réels.

Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ .
Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ admette un extremum local en $2$ , égal à $-3$ .
Avec ces valeurs, dresser le tableau de variations de $f$ : l’extremum en $2$ est-il un maximum ou un minimum ? Préciser l’autre extremum local.

Corrigé

⇝ 1. $f'(x)=3x^2+2ax$ .

2. Extremum local en $2$ : $f'(2)=0\iff12+4a=0\iff a=-3$ . Valeur $-3$ : $f(2)=-3\iff8-12+b=-3\iff b=1$ .

⇝ $a=-3$ et $b=1$ .

3. $f(x)=x^3-3x^2+1$ , $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ : positive sur $]-\infty\,;0[$ et $]2\,;+\infty[$ , négative sur $]0\,;2[$ . $f(0)=1$ , $f(2)=-3$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$

⇝ en $2$ : minimum local $-3$ ; en $0$ : maximum local $1$ .

Exercice 8 · Démontrer une inégalité par une étude de fonction ★★★

On pose $g(x)=x^3-3x+2$ sur $[0\,;+\infty[$ . Étudier les variations de $g$ et en déduire que, pour tout $x\geqslant0$ , $x^3\geqslant3x-2$ .
Montrer que, pour tout réel $x>0$ : $x^2+\dfrac{16}{x}\geqslant12$ . Pour quelle valeur de $x$ y a-t-il égalité ?

Corrigé

1. $g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ . Sur $[0\,;+\infty[$ , $x+1>0$ : $g'(x)$ est du signe de $x-1$ . Donc $g$ décroît sur $[0\,;1]$ , croît sur $[1\,;+\infty[$ , et admet en $1$ un minimum : $g(1)=1-3+2=0$ .

⇝ $g(x)\geqslant0$ pour tout $x\geqslant0$ , c’est-à-dire $x^3\geqslant3x-2$ .

2. Soit $h(x)=x^2+\dfrac{16}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $h'(x)=2x-\dfrac{16}{x^2}=\dfrac{2x^3-16}{x^2}=\dfrac{2(x^3-8)}{x^2}$ .

Or $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ et $x^2+2x+4>0$ ( $\Delta=-12<0$ , $a>0$ ) : $h'(x)$ est du signe de $x-2$ . $h$ décroît sur $]0\,;2]$ et croît sur $[2\,;+\infty[$ ; son minimum est $h(2)=4+8=12$ .

⇝ $x^2+\dfrac{16}{x}\geqslant12$ , avec égalité pour $x=2$ .

Exercice 9 · Dérivée nulle et extremum : attention ! ★★★

Soit $f(x)=x^4-2x^2$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f'(x)=4x(x-1)(x+1)$ , dresser le tableau de variations de $f$ et donner tous ses extremums locaux. Lesquels sont des extremums sur $\mathbb{R}$ tout entier ?
Soit $g(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$ . Calculer $g'(0)$ . La fonction $g$ admet-elle un extremum local en $0$ ? Conclure : la condition « $f'(a)=0$ » suffit-elle pour qu’il y ait un extremum en $a$ ?

Corrigé

1. $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ . $f(-1)=-1$ , $f(0)=0$ , $f(1)=-1$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

⇝ minimums locaux $-1$ en $\pm1$ , maximum local $0$ en $0$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $f(x)+1=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geqslant0$ , donc $-1$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ . En revanche $0$ n’est pas un maximum sur $\mathbb{R}$ : par exemple $f(2)=8>0$ .

2. $g'(x)=3x^2$ , donc $g'(0)=0$ . Mais $g'(x)=3x^2\geqslant0$ ne change pas de signe : $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , et $g(x)<0=g(0)$ pour $x<0$ , $g(x)>0$ pour $x>0$ .

⇝ $g$ n’a pas d’extremum en $0$ .

⇝ La condition $f'(a)=0$ est nécessaire mais pas suffisante : il faut que $f'$ s’annule en changeant de signe.

Exercice 10 · Optimisation : la boîte de volume maximal ★★★

Dans une feuille carrée de carton de $30$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

Justifier que $x\in\,]0\,;15[$ et que le volume de la boîte, en cm³, est $V(x)=x(30-2x)^2$ .
Montrer que $V'(x)=12(x-5)(x-15)$ , dresser le tableau de variations de $V$ sur $]0\,;15[$ .
En déduire les dimensions de la boîte de volume maximal, et ce volume maximal.

Corrigé

1. Il faut $x>0$ et que les deux coins découpés d’un même côté tiennent dans la feuille : $2x<30$ , soit $x<15$ . La base est un carré de côté $30-2x$ et la hauteur vaut $x$ : $V(x)=x(30-2x)^2$ .

2. Produit $u\times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=(30-2x)^2$ , $v'(x)=-2\times2(30-2x)=-4(30-2x)$ :

$V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x)=2(15-x)\times6(5-x)=12(x-5)(x-15).$

Sur $]0\,;15[$ , $x-15<0$ : $V'(x)>0$ pour $x<5$ et $V'(x)<0$ pour $x>5$ . $V(5)=5\times20^2=2000$ .

$x$	$0$		$5$		$15$
$V'(x)$		$+$	$0$	$-$
$V$	$0$	$\nearrow$	$2000$	$\searrow$	$0$

⇝ 3. $x=5$ cm : boîte de base $20\times20$ cm, hauteur $5$ cm, volume maximal $2000$ cm³.

Exercice 11 · Optimisation : rectangle sous une parabole ★★★

Dans un repère orthonormé, on note $\mathcal{P}$ la parabole d’équation $y=9-x^2$ . Pour $x\in\,]0\,;3[$ , on considère le rectangle $ABCD$ de sommets $A(-x\,;0)$ , $B(x\,;0)$ , $C(x\,;9-x^2)$ et $D(-x\,;9-x^2)$ .

Faire une figure, puis montrer que l’aire du rectangle est $\mathcal{A}(x)=18x-2x^3$ .
Étudier les variations de $\mathcal{A}$ sur $]0\,;3[$ . En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l’aire est maximale, et la valeur exacte de cette aire maximale.

Corrigé

1. Pour $x\in\,]0\,;3[$ , $9-x^2>0$ : les points $C$ et $D$ sont au-dessus de l’axe et sur $\mathcal{P}$ . $AB=x-(-x)=2x$ et $BC=9-x^2$ , donc $\mathcal{A}(x)=2x(9-x^2)=18x-2x^3$ .

2. $\mathcal{A}'(x)=18-6x^2=6(3-x^2)=6(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)$ . Sur $]0\,;3[$ , $\sqrt{3}+x>0$ : $\mathcal{A}'$ est du signe de $\sqrt{3}-x$ . $\mathcal{A}$ croît sur $]0\,;\sqrt{3}]$ et décroît sur $[\sqrt{3}\,;3[$ . $\mathcal{A}(\sqrt{3})=2\sqrt{3}(9-3)=12\sqrt{3}$ .

$x$	$0$		$\sqrt{3}$		$3$
$\mathcal{A}'(x)$		$+$	$0$	$-$
$\mathcal{A}$	$0$	$\nearrow$	$12\sqrt{3}$	$\searrow$	$0$

⇝ $x=\sqrt{3}$ : aire maximale $12\sqrt{3}\approx20{,}8$ u.a. (rectangle de dimensions $2\sqrt{3}\times6$ ).

Exercice 12 · Optimisation : distance minimale à une courbe ★★★

Soit $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction racine carrée dans un repère orthonormé, et $A(3\,;0)$ . Pour $x\geqslant0$ , on note $M(x\,;\sqrt{x})$ le point de $\mathcal{C}$ d’abscisse $x$ .

Montrer que $AM^2=x^2-5x+9$ .
On pose $d(x)=x^2-5x+9$ . Étudier les variations de $d$ sur $[0\,;+\infty[$ .
En déduire le point $M_0$ de $\mathcal{C}$ le plus proche de $A$ , ainsi que la distance minimale $AM_0$ (valeur exacte).

Indication : pour des longueurs positives, $AM$ est minimale lorsque $AM^2$ l’est.

Corrigé

1. Dans un repère orthonormé : $AM^2=(x-3)^2+(\sqrt{x}-0)^2=x^2-6x+9+x$ , donc $AM^2=x^2-5x+9$ .

2. $d'(x)=2x-5$ : $d$ décroît sur $\left[0\,;\frac{5}{2}\right]$ et croît sur $\left[\frac{5}{2}\,;+\infty\right[$ . $d\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+9=\frac{11}{4}$ : c’est le minimum de $d$ sur $[0\,;+\infty[$ .

3. $AM$ étant positive, $AM$ est minimale quand $AM^2$ l’est, donc pour $x=\frac{5}{2}$ :

⇝ $M_0\left(\frac{5}{2}\,;\frac{\sqrt{10}}{2}\right)$ et $AM_0=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}\approx1{,}66$ .

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Variations et extremums – fiche d’exercices (énoncé)

Variations et extremums – 12 exercices corrigés – Première spécialité

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Dérivation – 6 exercices de Première spécialité

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